Añadido El 2 De Junio:
Desde el resumen a continuación ya es un poco largo, pensé que me gustaría añadir un par de líneas al principio como una guía. Las pruebas a las que todo proceda de la siguiente manera:
Identificar la cantidad de interés (como la característica de Euler) como el índice de un operador que va desde un 'hasta' bundle para una 'extraña' bundle.
Uso de la teoría de Hodge para escribir el índice en términos de las dimensiones de la armónica de las secciones, es decir, los núcleos de Laplacians.
Utilizar el calor de la evolución de operador para la Laplacians y "supersimetría" para reescribir esto como un 'supertrace.'
Escribir el calor evolución operador en términos de que el calor del núcleo para expresar la supertrace como la integral de la densidad local.
El uso de la eigenfunction expansión del heat kernel a identificar la constante (en el tiempo) parte de la densidad local.
La mayoría de esto es en general una tontería, y el difícil paso es de 5. Por lo general, los avances realizados después de la década de los setenta todo tenía que ver con la búsqueda de interpretaciones de este último paso que emplea la intuición derivadas de la física.
He sufrido a lo largo de esta prueba un poco en mi pre-aritmética de la juventud y escribí
una serie de resúmenes. Un condensada y extremadamente superficial de la versión que aquí se da, sobre todo, por mi propio examen.
Si por casualidad alguien lo encuentra en todo útil, por supuesto, estaré encantado. Pido disculpas de que yo no digo nada acerca de la física
la intuición (porque yo no tengo ninguno), y por la repetición de partes de la anterior agradable respuestas.
Hace años ya que he pensado acerca de estos asuntos, así que voy a renunciar
todos los intentos de incluso una apariencia de rigor analítico. De hecho, la pedagógica principal razón para la contabilización es que un esquema básico de la prueba es posible entender con casi ningún análisis.
La configuración usual tiene un pacto de Riemann colector $M$, dos hermitian paquetes de $E^+$$E^-$, y un lineal
operador
$$P:H^+\rightarrow H^-,$$
donde $H^{\pm}:=L^2(E^{\pm})$.
Con adecuado supuestos (ellipticity), $ker(P)$ $coker(P)$
tiene dimensión finita, y la cantidad de interés es el índice:
$$Ind(P)=dim(ker(P))-dim(coker(P)).$$
Esto también puede ser expresado como
$$dim(ker(P))-dim(ker(P^{\*})),$$ donde
$$P^{\*}:H^-\rightarrow H^+$$
es el espacio de Hilbert adjunto. Una simple generalización de la Hodge teorema nos permite también escribir esto en términos de Laplacians
$\Delta^+=P^* P$ $\Delta^-=PP^*$
como
$$dim(ker(\Delta^+))-dim(ker(\Delta^-)).$$
Las cosas se ponen un poco más difícil cuando tratamos de identificar el índice con la expresión ('supertrace,' llamado)
$$Tr(e^{-t\Delta^+})-Tr(e^{-t\Delta^-}).$$
El operador
$$e^{-t\Delta^{\pm}}:H^{\pm}\rightarrow H^{\pm}$$
envía una sección de $f$ a la solución de la ecuación del calor
$$\frac{\partial}{\partial t} F(t,x)+\Delta^{\pm}F(t,x)=0$$
($x$ denota un punto de $M$) en el momento $t$ con condición inicial $F(0,x)=f(x).$
Una parte importante de esto es que no son discretos Hilbert suma directa de descomposición
$$H^+=\oplus_{\lambda} H^+(\lambda)$$
y $$H^-=\oplus_{\mu} H^-(\mu)$$
en términos de finito-dimensional subespacios propios de la Laplacians con los no-negativo autovalores. Y entonces, las identidades
$$\Delta^-P=PP^{\*}P=P\Delta^+$$
y
$$\Delta^+P^{\*}=P^{\*}PP^{\*}=P^{\*}\Delta^-$$
muestran que el (supersimetría) operadores de $P$ $P^{\*}$ puede ser utilizado para definir isomorphisms entre todos los no-cero subespacios propios de los dos Laplacians con
una correspondencia de autovalores así.
Por lo tanto, una vez que usted cree que la exponencial de los operadores, son de la clase de seguimiento,
es fácil ver que la única contribuciones a la traza de los granos de los más y menos Laplacians. Este es el 'fácil de cancelación" que se produce en esta prueba.
Pero en el cero subespacios propios, el calor de la evolución de los operadores están claramente la identidad, lo que nos permite identificar la supertrace con el índice.
Para resumir hasta aquí, hemos
$$Ind(P)=Tr(e^{-t\Delta^+})-Tr(e^{-t\Delta^-}).$$
Esta identidad también se hace obvio que la supertrace es de hecho independiente de $t>0$.
Las pruebas en discusión tienen que ver con la identificación de este supertrace en términos de expresiones locales que
se refieren naturalmente a la característica de clases. El inicio de este proceso implica en primer lugar el escrito, el operador de
$e^{-t\Delta^+}$ en términos de un integrante del núcleo
$$K^+_t(x,y)=\sum_i e^{-t\lambda_i } \phi^+_i(x)\otimes \phi^+_i(y)$$
donde el $\phi^+_i$ hacer una base ortonormales de vectores propios para el Laplaciano.
Es decir,
$$[e^{-t\Delta^+}f](x)=\int_M K^+_t(x,y)f(y)dvol(y)=\sum_i e^{-t\lambda_i } \int_M \phi^+_i(x) \langle \phi^+_i(y),f(y)\rangle dvol(y).$$
Formalmente, esta identidad es obvio, y el verdadero trabajo consiste en el análisis global necesaria para justificar el cálculo formal.
Obviamente, hay un debate paralelo para $\Delta^-$. Ahora, por un infinito-dimensional versión de la fórmula
que expresa la traza de una matriz como una suma de las diagonales, obtenemos que
$$Tr(e^{-t\Delta^+})=\int_M Tr(K^+_t(x,x))dvol(x)=\int_M \sum_ie^{-t\lambda_i}||\phi^+_i(x)||^2 dvol(x),$$
una integral de local (punto) rastros, y de manera similar para $Tr(e^{-t\Delta^-})$. Uno necesita por lo tanto, las técnicas para evaluar la densidad de
$$\sum_ie^{-t\lambda_i}||\phi^+_i(x)||^2 dvol(x)-\sum_ie^{-t\mu_i}||\phi^-_i(x)||^2 dvol(x).$$
Más análisis da un asintótica de expansión para el más y el menos densidades de la forma
$$ a^{ \pm }\_{-d/2}(x) t^{-d/2}+a^{ \pm }\_{d/2+1}(x) t^{-d/2+1}+\cdots $$
donde $d$ es la dimensión de la $M$.
Hasta aquí la discusión fue completamente general, pero, a continuación, la prueba comienza a involucrar a los casos especiales, o
al menos, amplia división en clases de casos. Pero tenga en cuenta que incluso para los casos especiales mencionados en la pregunta original,
una esencia llevar a cabo el procedimiento descrito anteriormente para un determinado operador $P$.
El avance en esta línea de pensamiento
vino de Patodi increíblemente complicados cálculos para el operador $d+d^*$
va incluso impar formas diferenciales,
donde se vio que el
$$a^{+}\_i(x)$$
y
$$a^{-}\_i(x)$$
cancelan unos a otros a nivel local, es decir, para cada punto de $x$, para todos los
términos negativos $i$. Creo que estaba de moda para referirse a esta cancelación como "milagrosa", que es, en comparación con el fácil de cancelación arriba.
En este punto, Patodi podría tomar un límite
$$\lim_{t\rightarrow 0}[\sum_ie^{-t\lambda_i}||\phi^+_i(x)||^2 dvol(x)-\sum_ie^{-t\mu_i}||\phi^-_i(x)||^2 dvol(x)],$$
que él se identifica con la forma de Euler. Este importante el cálculo de establecer un patrón que se repite en todas las demás versiones de
el calor del núcleo enfoque del índice de teoremas. Una prueba de la existencia de un análogo de
límite de $t\rightarrow 0$ y la identifica. La identificación
como precisa diferencial de la forma representativa de una característica de la clase se refiere a veces como un índice local teorema, una declaración
más refinado que el topológica de la fórmula para el índice global. Incluso hay una hermosa versión de un local de familias índice teorema de
que se refiere, finalmente, a la profundidad de trabajo en la aritmética de la intersección de la teoría y La prueba de la conjetura de Mordell.
Como yo lo entiendo, Gilkey contribución fue un invariante de la teoría de la
argumento de que enormemente simplificado el cálculo y permite una forma diferenciada representante para
el $\hat{A}$ género que surgen de modo natural
en el caso de que el operador de Dirac. Y luego, creo que hay un $K$-teoría de la argumentación que se deduce que el índice teorema general elíptica operador
desde el uno para el trenzado de Dirac operador.
Los expertos pueden me corrija si estoy equivocado, pero
desde una perspectiva puramente punto de vista matemático, esencialmente todo el trabajo en el calor del núcleo de la prueba se ha hecho en este punto.
Posteriores interpretaciones de la prueba (más precisamente, el supertrace), en términos de la supersimetría, path integrals, bucle de espacios, etc., fueron tremendamente
influyente en muchas áreas de las matemáticas y la física, pero el núcleo matemático del índice teorema en sí parece haber mantenido sin cambios durante casi cuarenta años. En particular, la terminología me he utilizado anteriormente, el super - cosas, no se produce en absoluto en los papeles originales de Patodi, Atiyah-Bott-Patodi, o Gilkey.
Añadió:
Aquí es sólo un poco de geométrico, físico de la intuición sobre el calor del núcleo en el de Gauss-Bonnet caso, que estoy seguro que es totalmente banal para la mayoría de la gente. La densidad de
$$\sum_ie^{-t\lambda_i}||\phi^+_i(x)||^2 dvol(x)-\sum_ie^{-t\mu_i}||\phi^-_i(x)||^2 dvol(x)$$
expresa el calor del núcleo en términos de bases ortonormales para el par y el impar formas. Al $t\rightarrow \infty$ todos los términos relacionados con el positivo autovalores caer a cero, dejando sólo las contribuciones de ortonormales armónica de las formas. Esta es una manera de ver que la integral de esta densidad, la cual es independiente de $t$, debe ser la característica de Euler. Por otro lado, como $t\rightarrow 0$, el operador
$$K^\+_t(x,y)dvol(y)=[\sum_i e^{-t\lambda_i } \phi^+_i(x)\otimes \phi^+_i(y)]dvol(y)$$
literalmente, los enfoques de la identidad del operador en todas las formas (excepto por el hecho de que diverge). Es decir, el calor del núcleo se interpola entre la identidad y la proyección para el armónico de formas, en algunos genuino sentido de que expresan la difusión de calor de un punto de distribución para un armónico de estado estacionario. Una discusión similar se tiene para las extrañas formas. No puedo justificar este punto siguiente ni siquiera vagamente, en el momento, pero uno debe por lo tanto pensar $$[K^+\_t(x,y)-K^-\_t(x,y)]dvol(y)$$ as regularizing the current on $M\times M$ given by the diagonal $M\subconjunto M\times M$. Thus, the integral of $$[TrK^{+}\_t(x,x)-TrK^-\_t(x,x)]dvol(x)$$ ends up computing a deformed self-intersection number of the diagonal in $M\times M$. Desde esta perspectiva, no debería ser demasiado sorprendente que el de Euler de la clase, lo que representa exactamente esta auto-intersección, se muestra.
Añadió:
Se me olvidó mencionar que la Riemann-Roch caso es donde $$P=\bar{\partial}+\bar{\partial}^*$$
que va desde el incluso a la extraña parte de la Dolbeault resolución asociada a un holomorphic vector paquete. El límite de la densidad local es una forma diferenciada en representación de la parte superior de grado de la porción de la Chern carácter del paquete multiplicado por la Todd de la clase de la tangente paquete. Tal vez vale la pena destacar que estos casos especiales, todos pasan por el argumento general descrito anteriormente.
