Teoremas con las pruebas de una línea

Question

Inspirado por esta muy concisa respuesta, lo que demuestra que $$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) \equiv 1 $$ de la siguiente manera:

$f(\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta \quad;$

entonces es fácil ver que $$f'(\theta)=0,$$ entonces $$f(\theta)=f(0)=1,$$

Estoy buscando teoremas (y corolarios y lemmata) con una línea de pruebas.

Reglas:

1) La prueba del teorema tiene que deducir algo; no puede ser, por ejemplo, una definición.

2) No vacua verdades; por ejemplo, "Si el cielo es verde, entonces la Hipótesis de Riemann es cierto" no está permitido.

3) Las palabras "trivialmente verdadera" están prohibidos!

4) La prueba (cuando se representan en $\LaTeX$), debe ser de menos de 100 caracteres, y debe ser de no más de una frase.

Si pudiera estado el teorema junto con su corto de la prueba, eso sería genial!

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Obviamente, hay un montón de teoremas con pruebas de diferentes longitudes-- acabo de atención acerca de los cortos!

Answer 1

Una famosa: Número irracional a una potencia irracional puede ser racional.

Prueba: Si $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ es racional, estamos contentos. Si $\sqrt 2^\sqrt 2$ es irracional, luego es racional $(\sqrt 2^{\sqrt 2})^\sqrt 2=2$.

P.S. $\sqrt 2^\sqrt 2$ es realmente irracional porque es trascendental por el Teorema de Gelfond-Schneider, pero no necesitamos conocer este teorema para probar la afirmación anterior.

Answer 2

Teorema melenudo de la bola (para $n=2$): hay no hay vector tangente continua no evanescente campo $S^2$

Prueba:: si existiese un campo vectorial, que $v_x$ ser el vector en $x$. La función $H:S^2 \times [0,1] \to S^2$asignación $(x,t)$ en el punto $t\pi$ radianes de $x$ a lo largo del gran círculo definido por $v_x$ es una homotopía entre la identidad y el mapa antipodal en $S^2$, que es imposible.

Bien escribí dos oraciones, pero esencialmente es uno.