Demostrar por inducción: $2^n + 3^n -5^n$ es divisible por $3$

Question

Dejemos que $P(n) = 2^n + 3^n - 5^n $ .

Quiero demostrar que $P(n)$ es divisible por $3$ para todos los enteros $n\geq 1$ .

El paso básico para esta prueba es bastante fácil: $P(1)$ es divisible por $3$ .

Para el paso inductivo , dejé que $k$ sea un número entero arbitrario, entonces supongamos que $P(k)$ es divisible por $3$ y se propuso demostrar que $P(k+1)$ es divisible por $3$ .

$$ P(k) = 2^k + 3^k - 5^k $$

$$\begin{align*} P(k + 1) &= 2^{k+1} + 3^{k+1} - 5^{k+1}\\ &= 2*2^k + 3*3^k - 5*5^k \end{align*} $$

Soy adivinando que la mejor manera de hacerlo es demostrar $P(k+1) - P(k)$ es divisible por $3$ Pero no estoy seguro de eso, así que podría ser donde empiezo a enfocar esto mal No estoy seguro de qué más probar sin embargo .. $P(k+1) * P(k)$ ? Pero eso no se distribuiría muy bien, ¿verdad?

Así que lo que hice fue escribir P(k+1) - P(k): $$ P(k+1) - P(k) = 2^k + 2*3^k - 6*5^k $$

En este punto, sé que el segundo y el tercer término son divisibles por 3, pero sé que $2^k$ no es necesariamente divisible por 3, así que aquí estoy atascado...

Answer 1

Por lo tanto, tenga en cuenta que $2^{k+1} + 3^{k+1} -5^{k+1} = (3-1)2^k + (4-1)3^k -(6-1).5^k = (3.2^k + 4.3^k -6.5^k) - (2^k + 3^k - 5^k)$ . El resto debería estar claro.

Answer 2

Como alternativa a la respuesta de Rankeya, tienes: $$P(k+1) = 2^{k+1} + 3^{k+1} - 5^{k+1}.$$

Entonces, procediendo como tú, tenemos: $$P(k+1) = 2\cdot 2^k + 3\cdot 3^k - 5\cdot 5^k.$$ En este punto, quiere utilizar su hipótesis de inducción. Observe que tiene suficiente $2^k$ s, $3^k$ s y $5^k$ s para dos $2^k+3^k-5^k$ con algunas cosas de sobra. Eso es: $$P(k+1) = 2(2^k + 3^k - 5^k) + 3^k - 3\cdot 5^k.$$ Pero $3^k$ es, por supuesto, un múltiplo de $3$ y $3\cdot 5^k$ es un múltiplo de $3$ . Y $2(2^k+3^k-5^k)$ es un múltiplo de $3$ por la hipótesis de la inducción. Así que $P(k+1)$ es una suma de múltiplos de $3$ por lo que es un múltiplo de $3$ .

Answer 3

Un esbozo de otro método, si estás dispuesto a utilizar los módulos. Tenga en cuenta que $P(1) = 2 + 0 - 2 \mod{3}~~$

Para la hipótesis de inducción, véase que :

$2^k = 5^k = 2 \mod{3} \implies2^{k+1} = 5^{k+1} = 1 \mod{3}$ $2^{k} = 5^{k} = 1 \mod{3} \implies2^{k+1} = 5^{k+1} = 2 \mod{3}$

Aunque, si puedes utilizar la aritmética modular, es bastante fácil de demostrar directamente.

Answer 4

Otro enfoque:

$$2^n - 5^n = (2 - 5)\cdot (2^{n-1} + 2^{n-2} \cdot 5 + \cdots + 2^{n - j - 1}5^j + \cdots + 5^{n - 1})$$

Esta es la fórmula de la diferencia de enésimas potencias, que puedes demostrar por inducción si quieres.

Entonces está claro que $2^n - 5^n$ es divisible por $2 - 5 = -3$ , por lo que es divisible por $3$ . Por lo tanto, $2^n + 3^n - 5^n$ también es divisible por $3$ .