¿Cada Hilbert-Schmidt es un operador integral?

Question

Deje $(X,\mu)$ $\sigma$- finito medir el espacio. Si $K\in\mathcal{L}^2(X\times X,\mu\times\mu)$, a continuación, el mapa de $A_K:\mathcal{L}^2(X,\mu)\to\mathcal{L}^2(X,\mu)$ definido por\begin{equation} A_Kf(x)=\int_XK(x,y)f(y)d\mu(y) \end{equation} es de Hilbert-Schmidt.

Pero Arveson (Proposición 2.8.6) dice $K\mapsto A_K$ es un isomorfismo de $\mathcal{L}^2(X\times X,\mu\times\mu)$ para el espacio de Hilbert-Schmidt a los operadores en $\mathcal{L}^2(X,\mu)$.

Así, en particular, este mapa es sobre. No sé cómo probar esto. He intentado centrarme en el caso más fácil $X=[0,1]$, pero todavía tiene ningún progreso.

Alguien puede dar una pista? Gracias!

Answer 1

Un operador de Hilbert-Schmidt es compacto (véase Proposición 2.8.4), y en un espacio de Hilbert un operador compacto es un límite de la norma de finito alineado los operadores. Así que $T$ un operador de Hilbert-Schmidt en $L^2(X,\mu)$; y $T_n$ una secuencia de operadores de rango finito que convergen en norma a $T$.

Así que cada operador ordenada finito puede ser escrito como un operador integral, escriba $T_n$ $A_{K_n}$. Como $K\to A_K$ es un isometry, el $\{K_n\}$ de la secuencia es Cauchy en $L^2(X\times X,\mu\otimes \mu)$. Y el límite hace el trabajo.