Asignación unívoca de $z^2+z$ en disco

Question

Encontrar el mayor disco en el que la asignación de $f(z)=z^2+z$ es un uno-a-uno de la cartografía.

Si $f(z)$ no es uno-a-uno en una región $S$, podemos encontrar puntos de $a\neq b\in S$ tal que $a^2+a=b^2+b$. Esto significa $a^2-b^2=b-a$, por lo que el $a+b=-1$. Ahora, creo que la pregunta está pidiendo el más grande de disco centrado en el origen; de lo contrario, podemos elegir cualquier disco dentro de la región de $\{z:\Re z>2\}$.

Así que suponga que el disco está centrado en el origen. Si el radio es estrictamente mayor que $1/2$, entonces es claro que podemos escoger dos números reales negativos. que se suma a $-1$. Así que considere el disco de $|z|\leq 1/2$. Para cualquiera de los dos puntos $a,b$ en el disco, tenemos $|a+b|\leq |a|+|b|\leq 1$. La única posibilidad de que $a+b=-1$ si $a=b=-1/2$, pero aquí tenemos a $a=b$. Por lo $|z|\leq 1/2$ es el más grande de disco posible.

Es este razonamiento correcto? Yo estaba confundido a causa de la ambigüedad de la declaración del problema.

Answer 1

Más generalmente, dado un % polinomio cuadrático $p$y un dominio convexo $\Omega$, los siguientes son equivalentes:

1. $p'\ne 0$ in $\Omega$.
2. es inyectiva en $p$ $\Omega$.

Por supuesto, 2 implica 1 para cualquier función holomorfa en un dominio. Por el contrario, supongamos que 2 no, es decir, $p(a)=p(b)$ $a,b\in\Omega$. Entonces $p-p(a)$ es un múltiplo constante de $(z-a)(z-b)$, que implica $p'((a+b)/2)=0$. Desde $(a+b)/2\in \Omega$ de convexidad, 1 falla.