Mostrar que $f$ no cambia de signo sobre un intervalo $(\beta,+\infty)$.

Question

Deje $a,b,f$ son funciones continuas en un intervalo $(\alpha,+\infty)$ tal que $a,b$ tiene signo constante en $(\alpha,+\infty)$ $f$ es diferenciable en a $(\alpha,+\infty)$. Supongamos $f'=af+b$. Mostrar que $f$ no cambia de signo en un intervalo $(\beta,+\infty)$.

Así que considere esto como casos:

Caso I: $a>0,b>0$

Así que puedo volver a escribir $f=(f'-b)/a$. Al contrario suponer que $\beta \in \mathbb{R}$ hay $c_1,c_2>\beta $ tal que $f(c_1)>0$$f(c_2)<0$. Entonces por el teorema del valor intermedio no es $c\in(c_1,c_2)$ tal que $f(c)=0$. Por eso,$f'(c)=b(c)>0$. Pero después de que estaba atrapado. Incluso una función periódica como el pecado de la función tiene la propiedad de que tengo que hacer. Entonces, ¿cómo puedo comprobar el resultado?

Answer 1

Existe una función $A$ $A'=a$ porque $a$ es continua. Entonces $$(e^{-A} f)'=e^{-A}b.$$ So the function $ g (x) = e^{-A(x)}f(x) $ is monotonic. Thus, either (1): $ \exists \beta\; (x > \beta\implies g (x) \ne 0) $, and hence $x > \beta \implies f (x) \ne 0 $, which implies that $f $ cannot change sign on $ (\beta,\infty) $ because $f$ is continuous; or (2): $\exists \beta \; (x > \beta \implies g (x) = 0) $ and hence $x > \beta\implies f (x) = 0. $

Answer 2

Elige un arbitrario $\beta$ y, a continuación, suponga que $f$ cambia de signo al menos una vez en el intervalo $(\beta, +\infty)$, con la esperanza de derivar una contradicción. Pero, de hecho, usted puede encontrar fácilmente un ejemplo de las funciones de $a$, $b$, y $f$ que cumplen todos los criterios de su teorema, que $f$ cambia de signo una vez en el intervalo de $(\alpha, +\infty)$; y entonces usted puede modificar estas funciones a realizar el cambio de signo se producen como mucho "a la derecha" (como lejos de $\alpha$) como te gusta.

Por lo tanto, si todo lo que hacemos es elegir un $\beta$ y se supone que $f$ cambia de signo en algún lugar de $(\beta, +\infty)$, ¿cómo usted sabe que usted no es sólo mirando en uno de los ejemplos de $f$ que cambio de signo de vez en $(\alpha, +\infty)$, con el cambio de signo que ocurren tan lejos a la derecha que es también a la derecha de su elegida $\beta$?

Vamos a re-examinar el teorema de la conclusión. Permite a $f$ a cambio de signo, pero se dice que si $f$ hace cambio de signo, si van lo suficientemente lejos a la derecha, eventualmente va a pasar el último cambio de signo. Después de que el cambio de signo, no habrá otros.

Una forma de ver por qué un teorema debe ser así, es el intento de construir un contraejemplo y ver lo que va mal. Traté de hacer un contraejemplo; no hay problemas para encontrar $a$ $b$ que había constantes signos y satisfecho $f' = af + b$ en el barrio de un cambio de signo en $f$; pero cuando traté de extender esta a la derecha, a través de un par de cambios de signo de $f$ (recuerde, el contraejemplo al teorema debe tener infinitamente muchos de estos), rápidamente me encontré con un obstáculo. Pruébalo y verás.

Si usted puede averiguar por qué esto no funciona, usted debe ser capaz de demostrar el teorema. Como usted puede demostrar un límite superior en el número de cambios de signo de $f$, siempre puede colocar $\beta$ pasado el último cambio de signo, y, a continuación, $f$ no cambia de signo en el intervalo de $(\beta, +\infty)$.

Entonces, ¿hay un número máximo de veces $f$ puede cambiar de signo? Si es así, ¿cómo muchas veces es eso?