La respuesta es no en general. Recordar que si $T:X\longrightarrow Y$ es un surjective operador, a continuación, $X/{\rm ker}(T)$ es isomorfo a $Y$. La pregunta por lo tanto puede ser equivalentemente, dijo: Vamos a $X$ ser una de Banach separables y $Y$ un subespacio de $X$. ¿Existe un subespacio $Z\subseteq X$ tal que $X/Z$ es isomorfo a $Y$?
La respuesta es por supuesto que sí , si $X$ es isomorfo a $\ell_2$. También es sí si $X$ contiene un complementado subespacio isomorfo a $\ell_1$, debido a $\ell_1$ es surjectively universal para la clase de espacios de Banach separable (es decir, $\ell_1$ admite un surjective operador en cualquier separable espacio de Banach, y, en particular, en cualquiera de sus subespacios).
Para un contraejemplo, veamos el fenómeno opuesto a la surjective universalidad de la propiedad disfrutado por $\ell_1$; más precisamente, vamos a considerar un espacio que es injectively universal para la clase de espacios de Banach separables: cada Banach separable espacio (isométrico) isomorfo a un subespacio de $C([0,1])$ (la de Banach-Mazur teorema). Por lo tanto, si el OP pregunta tiene una respuesta afirmativa, tendría que ser el caso que cada separable espacio de Banach es isomorfo a un cociente de $C([0,1])$; esto es falso.
No reflexiva contraejemplos: Vamos a $Y$ ser un nonreflexive subespacio de $C([0,1])$ tal que $c_0$ no es isomorfo a un subespacio de $Y$ (por ejemplo, $\ell_1$, el de James espacio, y muchos otros). Entonces no hay surjective operador de $C([0,1])$ a $Y$. De hecho, un clásico resultado de Pelczynski (ver, por ejemplo, p.119 del libro de Temas en el espacio de Banach de la teoría por Albiac y Kalton) nos dice que no débilmente compacto operadores de $C(K)$ espacios fijar una copia de $c_0$, y el reclamado contraejemplo de la siguiente manera desde un surjective operador en un no-reflexiva espacio no es débilmente compacto.
Reflexiva contraejemplos: Cada reflexiva cociente de una $C(K)$ espacio es super-reflexivo; este teorema se debe a H. P. Rosenthal, que demostró que una reflexiva cociente de una $C(K)$ espacio es isomorfo a un cociente de $L_q(\mu)$ para una cierta probabilidad de medida $\mu$ $2\leq q<\infty$ (Corolario 11 de En los subespacios de $L_p$, Ann. De matemáticas. 97 (1973), p.344-373) (Comentario: es cierto, más en general, que cada reflexiva cociente (en el espacio de Banach sentido) de una $C^\ast$-álgebra es super-reflexivo; esto es debido a Jarchow, Sobre débilmente compacto de los operadores en $C^\ast$-álgebras, Matemáticas. Ann. 273 (1986), pág.341-343). Así que, tome $Y$ a cualquier reflexiva subespacio de $C([0,1])$ que no es super-reflexivo. Entonces no hay surjective operador en $Y$. Por ejemplo, tome $Y$ a ser un subespacio de $C([0,1])$ isomorfo a $(\bigoplus_{n=1}^\infty\ell_q^n)_{\ell_p}$ donde$1<p<\infty$$q\in\{ 1,\infty\}$.
Más reflexiva contraejemplos: vamos a $1\leq p<\infty$. A continuación, $\ell_p$ es isomorfo a un cociente de $C([0,1])$ si y sólo si $p\geq2$. Por lo tanto, cualquier subespacio $Y$ $C([0,1])$ tal que $Y$ es isomorfo a $\ell_p$, para algunas de las $1<p<2$, no es un cociente de $C([0,1])$. (El hecho de que cada operador de $C(K)$ $\ell_p$es compacto cuando $1\leq p<\infty$ es el Ejercicio 6.10 en el mencionado libro de Albiac y Kalton. Desde $C([0,1])^{\ast\ast}$ es isomorfo a un espacio de $L_\infty(\mu)$ para una medida adecuada $\mu$, y desde $\ell_p$ es reflexiva para $1<p<2$, para el caso de $1<p<2$ es suficiente para mostrar que cada operador de un $L_\infty(\mu)$ espacio $\ell_p$ es compacto cuando $1<p<2$; para algunos, el debate de este punto, ver Comentario 2 en p.211 de H. P. Rosenthal, En cuasi-complementa los subespacios de espacios de Banach, con un apéndice sobre la compacidad de los operadores de $L^p(\mu)$ $L_r(\nu)$, J. Func.. Anal. 4 (1969), pág. 176-214).
