¿La 2-esfera es homeomorfa a un Grupo topológico?

Question

Sé que la 2-esfera no es un grupos topológicos, pero ¿es homeomorfa a un Grupo topológico?

Answer 1

Si decimos que un espacio topológico $X$ "no es" un grupo topológico, que (casi siempre) $X$ no puede ser dotado de la estructura de un grupo topológico, y que es una propiedad que se conserva por homeomorphisms, es decir, si $X$ $Y$ son homeomórficos (vamos a decir $f:X\to Y$ es un homeomorphism) y $Y$ puede ser dotado de la estructura de un grupo topológico (digamos que con la operación $m:Y\times Y\to Y$), a continuación, por lo que puede a $X$, por composición del grupo de operación con la función de $f$, específicamente, $$X\times X\xrightarrow{\;\;f\times f\;\;}Y\times Y\xrightarrow{\;\;m\;\;}Y\xrightarrow{\;\;f^{-1}\;\;}X$$ Por lo tanto, ya que no hay ninguna operación de dotar a $S^2$ con la estructura de un grupo topológico, lo mismo es cierto de cualquier espacio homeomórficos a $S^2$.

Answer 2

No, un Grupo topológico es paralelizable, y $2$-lo no es paralelizable, ya que su característica de euler no es cero.

Answer 3

Cualquier espacio homeomorfa a un Grupo topológico es un Grupo topológico (de alguna operación binaria en el espacio). En efecto, supongamos que $f:X\to G$ es un Homeomorfismo y $\mu:G\times G\to G$ es una operación binaria que $G$ un Grupo topológico. A continuación, defina $\nu:X\times X\to X$ $\nu(x,y)=f^{-1}(\mu(f(x),f(y)))$. Es sencillo verificar que $\nu$ $X$ hace que un Grupo topológico.