Trucos de integración menos conocidos

Question

Actualmente estoy estudiando para el examen de la asignatura de matemáticas del GRE, que evalúa mucho el cálculo. He repasado la mayoría de las técnicas básicas de cálculo (integración por partes, sustituciones trigonométricas, etc.) Ahora estoy buscando una lista o referencia para algunos trucos menos conocidos o sustituciones inteligentes que son útiles en la integración. Por ejemplo, me enteré de este truco

$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a + b -x) \, dx$$

en la pregunta Demostrando que $\int\limits_{-a}^a \frac{f(x)}{1+e^{x}} \mathrm dx = \int\limits_0^a f(x) \mathrm dx$ cuando $f$ es incluso

Me interesan especialmente los trucos que puedan utilizarse sin una cantidad excesiva de cálculos, ya que creo (¿o espero?) que serán los que resulten útiles para el GRE.

Answer 1

No sé si "menos conocido", pero muchos cursos de cálculo pasan por encima funciones hiperbólicas . Al igual que la identidad $\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$ permite tratar con $1-x^2$ términos, la identidad $\cosh^2(t)-\sinh^2(t)=1$ permite tratar con $1+x^2$ términos.

Answer 2

Para integrar expresiones racionales de seno o coseno, la sustitución $u=\tan{\frac{x}{2}}$ siempre conduce a una función racional en $u$ . Tenemos $$\begin{array}{ll} u=\tan{\frac{x}{2}}, & dx=\frac{2du}{1+u^2} \end{array}$$ y $$\sin{x}=2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}=\frac{2\cos{\frac{x}{2}}\sin{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}=\frac{2u}{1+u^2}$$ $$\cos{x}=\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1-u^2}{1+u^2}$$

Answer 3

Estos son algunos de mis favoritos

Integración por cancelación

Supongamos que hay que integrar una función que se puede escribir como el producto de dos funciones, $f = g \cdot h$ . La idea ahora es utilizar la integración por partes en $g$ tal que la integral sobre $h$ desaparece.

Ejemplo: Sea $f(x) = (1 + 2x^2) e^{x^2}$ La mayoría de las técnicas no funcionarán aquí. Inténtalo con la integración por partes o con cualquier sustitución que quieras. Sin embargo, el "truco" es dividir la integral \begin{align*} J = \int (1 + 2x^2) e^{x^2} \mathrm{d}x = \int 2x^2e^{x^2}\mathrm{d}x + \int e^{x^2} \mathrm{d}x \,, \end{align*} y utilizar la integración por partes en la última integral con $u = e^{x^2}$ y $v=x$ . Así que \begin{align*} J = \int 2x^2e^{x^2} \mathrm{d}x + \left[ x e^{x^2} - \int x \cdot 2x e^{x^2} \mathrm{d}x \right] = x e^{x^2} + \mathcal{C} \end{align*} Esto no es otra cosa que utilizar la regla del producto al revés, sin embargo a menudo encuentro más fácil de ver de esta manera.

$$ \int \log( \log x ) - \frac{\mathrm{d}x}{\log x} $$

Integración sobre funciones simétricas

(Roger Nelsen) Dejemos que $f$ sea una función acotada en $[a,b]$ entonces \begin{align*} \int_a^b f(x) = (b-a) f\left( \frac{a+b}{2} \right) = \frac{b-a}{2}\bigl[ f(a) + f(b)\bigr] \end{align*} dado que $f(x)+f(a+b-x)$ es constante para todo $x\in[a,b]$

$$ \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{1 + \tan(x)^{\sqrt{2}}} $$

Integración sobre funciones periódicas

Dejemos que $f$ sea una función tal que $f(x) = f(x+T)$ para todos $x$ con $T \in \mathbb{R}$ entonces \begin{align} \int_{a}^{a+T} f(x)\,\mathrm{d}x & = \phantom{k}\int_{b}^{b + T} f(x)\,\mathrm{d}x\\ \int_{0}^{kT\phantom{a}} f(x)\,\mathrm{d}x & = k \int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x\\ \int_{a + mT}^{b + nT} f(x)\,\mathrm{d}x & = \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x+(n-m)\int_0^{T} f(x)\,\mathrm{d}x\, \end{align} donde $a,b,k,n,m$ son números reales

$$ \int_{23\pi}^{71\pi/2} \frac{\mathrm{d}x}{1 + 2^{\sin x}} $$

Ecuación funcional

Dejemos que $R(x)$ sea alguna función racional que satisfaga \begin{align*} R\left(\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^2} = R(x)\,, \end{align*} para todos $x$ . Entonces \begin{alignat}{2} & \int_0^\infty R(x) \,\mathrm{d}x && = \;2 \int_0^1 R(x) \\ & \int_0^\infty R(x) \log x \,\mathrm{d}x && = \;0 \\ & \int_0^\infty \frac{R(x)}{x^b + 1} \,\mathrm{d}x && = \frac{1}{2} \int_0^\infty R(x) \,\mathrm{d}x\\ & \int_0^\infty R(x) \arctan x \,\mathrm{d}x && = \frac{\pi}{4} \int_0^\infty R(x) \,\mathrm{d}x \end{alignat}

$$ \int_0^{\pi/2} \frac{\log ax}{b^2+x^2} \mathrm{d}x $$

Se pueden encontrar más de estas identidades para un ejemplo aquí con pruebas.

Answer 4

Tal vez para sus propósitos el Sustitución de Weierstrass La sustitución del medio ángulo tangente podría considerarse "menos conocida", aunque muchos libros de texto la tienen. [PD añadido en la Navidad de 2013: Desde que se publicó esta respuesta, se ha señalado que Weierstrass nunca escribió nada sobre esta sustitución, sino que lo hizo Euler, durante el siglo anterior a la vida de Weierstrass. No me queda claro que el nombre "sustitución de Weierstrass" provenga de algún otro lugar además del texto de cálculo de Stewart].

Aún menos conocido es diferenciación bajo el signo integral .

El examen de la asignatura de matemáticas del GRE podría hacer integración del contorno . Aquí verías integrales que podrían parecer superficialmente tan inocentes como cualquiera que veas en el cálculo de primer año, pero usas variables complejas para encontrarlas. Recuerdo que cuando hice el examen, había una pregunta sobre residuos .

Answer 5

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution

Sinceramente, no sabía que existía este útil método hasta que vi un problema en Yahoo