Encontrar todas las soluciones reales a $8x^3+27=0$

Question

Encuentre todas las soluciones reales a $8x^3+27=0$

$(a-b)^3=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$$(2x)^3-(-3)^3$$ $$(2x-(-3))\cdot ((2x)^2+(2x(-3))+(-3)^2)$$ $$(2x+3)(4x^2-6x+9)$$
Ahora, para encontrar soluciones debe establecer cada parte $=0$. El primer conjunto de paréntesis es fácil $$(2x+3)=0 ; x=-\left(\frac{3}{2}\right)$$
Pero, lo que no sé es cómo un factor trinominal (reverso de la LÁMINA método)
Sé que $(a+b)(c+d)=(ac+ad+bc+bd)$. Pero viniendo para arriba con la inversa no tiene sentido para mí. Si alguien puede sólo dime cómo factorizar un trinomio que sería genial.

Answer 1

Están trabajando muy duro. Tenga en cuenta que $$8x^3+27=0\iff x^3=\frac{-27}{8}\iff x=-\sqrt[3]{27/8}\iff x=-\frac{3}{2}$ $ y por lo tanto la única solución real es $x=-3/2$.

Answer 2

Utilizando el discriminante de $ax^3+bx^2+cx+d=8x^3+27$:

$$\Delta = 18abcd -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2=0-0+0-0-27(8^2)(27^2) < 0$$

Por lo tanto hay sólo una raíz real, y que, como Alex Becker encuentra, $x=-3/2$.

Answer 3

Terminación de la Plaza rinde el siguiente.

$$4x^2 - 6x + 9 = 4(x^2 - 3/2 x) + 9 = 4(x^2-3/2x + 9/16) + 27/4 = 4(x-3/4)^2 + 27/4.$$

Esto demuestra definitivamente que la cuadrática residual no puede tener no tiene ninguna raíz real, puesto que su gráfico nunca cae por debajo de la línea de $y = 27/4.$ esta representación le permitirá encontrar los complejos fácilmente, si así lo desea.

Answer 4

Sabemos que $-3/2$ es una solución. Entonces dividimos $x^3+27$ $x+3/2$. Por lo tanto tenemos $x^3+27=(x+3/2)(8x^2-12x+18)=0$. Pero 8 x ^ 2-12 x + 18 no tiene solución real.