¿Que libro de texto de geometría diferencial introducirá transformación conformal?

Question

¿Que libro de texto de geometría differerntial tendrá estas fórmulas sobre transformación conformal? $$\tilde g_{ij} = e^{2\varphi}g_{ij}$$ $$\tilde \Gamma^k{}_{ij} = \Gamma^k{}_{ij}+ \delta^k_i\partial_j\varphi + \delta^k_j\partial_i\varphi-g_{ij}\nabla^k\varphi $$ $$\tilde R_{ijkl} = e^{2\varphi}\left( R_{ijkl} - \left[ g {~\wedge\!\!\!\!\!\!\bigcirc~} \left( \nabla\partial\varphi - \partial\varphi\partial\varphi + \frac{1}{2}\|\nabla\varphi\|^2g \right)\right]_{ijkl} \right)$$ $$\tilde R = e^{-2\varphi}\left[R + \frac{4(n-1)}{(n-2)}e^{-(n-2)\varphi/2}\triangle\left( e^{(n-2)\varphi/2} \right) \right] $$

He leído muchos libros de texto sobre geometría diferencial, tales como Do Carmo, Kobayshi, Novikov y así sucesivamente. Pero nunca encontré estas fórmulas. Quien me puede dar una referencia acerca de estas fórmulas. ¡Gracias!

Answer 1

Fue un problema para mí cuando empecé a aprender de conformación geometría diferencial en el 2008. Como a mí me gusta aprender de abiertamente las fuentes disponibles, incluso a pesar de que nuestra Universidad cuenta con una excelente biblioteca dentro de un minuto de pie, algunas de mis referencias serán enlaces a recursos en línea.

Mi primer encuentro con la prueba de la conformación de la transformación de los símbolos de Christoffel se produjo en enero eslovaca's tesis doctoral "Natural de los Operadores en la Conformación colectores", ver aquí.

Más tarde he encontrado un buen ejercicio (Problema 6.11.8 en la p. 296 en Springer edición de 2009) con una solución de P. M. Gadea y J. Munos Masqué "Análisis y Álgebra en Diferenciables Colectores: Un Libro para Estudiantes y Profesores", no disponible gratuitamente, pero muy recomendable :-) Este me explicó mucho, sin embargo las otras cosas fueron aún más difícil de dominar.

En un viejo libro de "Conformación de la Geometría", editado por R. Kulkarni y U. Pinkall, Vieweg 1988 Bonn, he encontrado un montón de iluminar hechos y ejemplos, incluyendo estas fórmulas. Ver especialmente el J. Lafontaine "de Conformación de la Geometría desde el punto de vista de Riemann", pp 65-92.

Más tarde me encontré con que hay muchos textos donde se pueden encontrar todo tipo de pruebas de estas identidades. Profesionales considere primaria y por lo general se refieren a A. Besse's "Einstein colectores", Teorema de 1.159, p.58.

Si me preguntaran ahora qué leer para aprender estas fórmulas de transformación recomiendo Jeff Viaclovsky's conferencias "Matemáticas 865, de los Temas de Geometría de Riemann", que podéis encontrar aquí. Lección 20 (= Capítulo 21) en la p.78 se le da a los cálculos detallados.

(La lectura de Spivak "Integral...", aunque sea extremadamente útil era un gran esfuerzo para mí. )

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Observación. Este tipo de preguntas se han preguntado ya un par de veces (no las solicitudes de referencia, sino directamente), así que me dio algunas respuestas, ver aquí y aquí.