Demostrar que , cualquier raíz primitiva $r$ de $p^n$ también es una raíz primitiva de $p$

Question

Para un impar prime $p$ demostrar que cualquier raíz primitiva $r$ de $p^n$ también es una raíz primitiva de $p$

Así que he asumido $r$ tener orden $k$ modulo $p$ Así que $k|p-1$ Entonces si soy capaz de demostrar que $p-1|k$ Pero no he sido capaz de demostrarlo, ¿alguien puede ayudarme con este método? Cualquier otro tipo de prueba también es bienvenida.

Answer 1

Para cualquier $a$ relativamente primo a $p^n$ existe un número entero $k$ tal que $r^k\equiv a \pmod{p^n}$ y por tanto tal que $r^k \equiv a\pmod{p}$ . Así $r$ es una raíz primitiva de $p$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que un número entero $r$ avec $\gcd(r,p)=1$ es una raíz primitiva módulo $p^k$ cuando el más pequeño $b$ tal que $r^b\equiv1\bmod p^k$ es $b=p^{k-1}(p-1)$ .

Supongamos que $r$ no es una raíz primitiva módulo $p$ así que hay algo de $b<p-1$ tal que $r^b\equiv 1\bmod p$ .

En otras palabras, hay algún número entero $t$ tal que $r^b=1+pt$ .

Luego, por supuesto, tenemos que $p^{n-1}b<p^{n-1}(p-1)$ y $$r^{p^{n-1}b}\equiv 1\bmod p^n$$ debido a

el teorema del binomio.

(pase el ratón por encima para ver los spoilers)

Answer 3

Ejercicio : Si $X$ es un grupo generador de un grupo $G$ y $\phi:G\to H$ un homomorfismo, entonces $\phi(X)$ es un conjunto generador de la imagen de $G$ en $\phi$ Esto significa, en particular, que si $\phi$ es suryectiva/onto entonces $\phi(X)$ es un grupo generador de $H$ .

Consideremos ahora $G=(\Bbb Z/p^n\Bbb Z)^\times$ y $H=(\Bbb Z/p\Bbb Z)^\times$ avec $\phi$ el mod $p$ (¡vea que está bien definido y es onto!) con un conjunto generador singleton $X=\{a\}$ pour $G$ .

Answer 4

Si r es una raíz primitiva del primo p, podemos demostrar que o bien r es una raíz primitiva de $p^2$ o (r+c.p) es una raíz primitiva de $p^2$ donde (c,p)=1.

También podemos demostrar que si g es una raíz primitiva tanto de p como de $p^2$ también es una raíz primitiva de $p^k$ donde k es un número natural.

Claramente, existe una r+c.p donde p|c o (c,p)=1 que es una raíz primitiva tanto de p como de $p^2$ =>r+c.p es una raíz primitiva de $p^k$ donde k es un número natural.

Cada uno de $\phi(p-1)$ raíz primitiva de p, tendrá asociadas (p-1) raíces primitivas que son congruentes(mod p), pero in-congruentes(mod $p^2$ ) de $p^2$ p(p-1) raíces primitivas de $p^3$ y $p^{k-2}(p-1)$ raíces primitivas de $p^k$ donde k3.

Cada raíz primitiva de $p^k$ se asociará a p raíces primitivas de $p^{k+1}$ donde k > 1.

Answer 5

Utilizando este si $ord_{(p^k)}a = d$ donde k es un número natural, podemos demostrar que $ord_{(p^{k+1})}a = d$ o $pd$

Ahora bien, si r es una raíz primitiva de $p^{k+1} => ord_{(p^{k+1})}a = \phi(p^{k+1})=p^k(p-1)$

\=> $ ord_{(p^{k})}a = p^k(p-1)\ or\ p^{k-1}(p-1) $

\=>Pero, $ ord_{(p^{k})}a \ \phi(p^k) =p^{k-1}(p-1)$

\=> $ ord_{(p^{k})}a = p^{k-1}(p-1)=\phi(p^k) $ => r es una raíz primitiva de $p^k$ para todo número natural k1