Se me pide que resolver
$$ y'' + 9y = 6\mathrm{sin}(3x) $$
usando el método de coeficientes indeterminados.
La ecuación característica de este 2º orden a la educación a distancia es
$$ \lambda^2 + 9\lambda = 0 $$
y sus raíces se $0$$-9$. Estos son reales y diferentes, por lo que la solución general de la ecuación homogénea debe ser
$$ y = c_1e^{0x} + c_2e^{-9x} $$
que es el mismo que
$$ y = c_1 + c_2e^{-9x} $$
En mi mesa de conjeturas razonables para la solución particular de la inhomogenous ecuación, se dice que para la salida de las funciones de la forma $\textrm{sin}(\beta x)$, $\textrm{cos}(\beta x)$, la solución particular será de la forma
$$ y_p = A\cdot\textrm{sin}(\beta x) + B\cdot\textrm{cos}(\beta x) $$
si $i \beta$ no es una raíz de la ecuación característica, y
$$ y_p = x\left[ A\cdot\sin(\beta x) + B\cdot\textrm{cos}(\beta x) \right] $$
si $i \beta$ es una raíz de la ecuación característica.
Así que, dada nuestra salida de la función $6\sin(3x) $, $\beta = 3$, y si ponemos a prueba, sustituyendo $3i$ en la ecuación característica, obtenemos
$$(3i)^2 + 9(3i) = -9 + 27i \neq 0 $$
así que parece claro que $i \beta$ no es una raíz, y por tanto, espero que la solución particular sería de la forma
$$ y_p = A\cdot\textrm{sin}(3x) + B\cdot\textrm{cos}(3x) $$
Excepto que no lo es, y no fue hasta que alguien me dijo que trate de sustituir la función de salida en la ODA que me di cuenta de esto. Sólo $ y_p = x\left[ A\cdot\sin(\beta x) + B\cdot\textrm{cos}(\beta x) \right] $ obras. Es mi formulario equivocado, o he entendido algo aquí?
El uso de $ y_p = x\left[ A\cdot\sin(\beta x) + B\cdot\textrm{cos}(\beta x) \right] $ como la razonable suposición, la solución particular resulta ser $-x\cos 3x$.
Así que la solución general debe ser
$$ y = c_1 + c_2e^{-9x} -x\cos 3x $$
pero cuando trato de resolver esta ODA con diversas herramientas, puedo conseguir
$$ y = c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x) -x\cos(3x) $$
lo que no entiendo. La ecuación característica tiene, tan cerca que puedo decir, la verdad (y distinta) las raíces, así que ¿por qué hay identidades trigonométricas en la solución de la ecuación homogénea? De manera más general, donde he pasado mal aquí?
