Si es de dominio $f(x)$ $[-1,2]$ entonces lo que será el dominio de $f([x]-x^2+4)$ $?$

Question

Si el dominio de $f(x)$$[-1,2]$, ¿cuál será el dominio de $f([x]-x^2+4)$ $?$ Aquí $[.]$ es para mayores de entero en la función.

Intento: desde el dominio de $f(x)$$[-1,2]$, por tanto, para $f([x]-x^2+4)$

$-1\le[x]-x^2+4\le2$

$\Rightarrow x^2\le[x]+5$ $x^2\ge[x]+2$

la resolución de primera desigualdad, como $x^2$ es siempre positiva por lo $x\ge-5$

Ahora puedo empezar a tomar intervalos de $x$ y resolverlos, pero este método de fuerza bruta no me lleva a ninguna parte cerca de la respuesta correcta. Alguien puede explicar cómo es que este problema se resuelva? Por favor, dar una compleja solución.

Answer 1

Una $x\in{\mathbb R}$ es admisible si $-1\leq\lfloor x\rfloor-x^2+4\leq2$, o si $$2\leq x^2-\lfloor x\rfloor\leq 5\ .$$ Ya que para cualquier $x$ ha $x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$, la admisibilidad de una $x$ tiene necesariamente que cumplir $$1\leq x^2-x\leq 5\ .$$ El auxiliar de la función $g(x):=x^2-x$ $\geq6$ si $x\leq-2$ o $x\geq3$, e $g(x)\leq0$$0\leq x\leq1$. De ello se desprende que la admisible $x$ solo puede ser encontrado en los dos intervalos de $\>]-2,0[\>$$\>]1,3[\>$.

Esto significa que tenemos que tratar por separado los intervalos de $$J_1:=\>]-2,-1[\>,\quad J_2:=\>[-1,0[\>,\quad J_3:=\>]0,1[\>,\quad J_4:=\>[1,2[\>\ .$$ En cada uno de estos el plazo $\lfloor x\rfloor$ es constante, por lo que no debería ser demasiado difícil encontrar la verdad admisible $x$ en estos intervalos.

Answer 2

Escribir la condición $$x^2\leq [x]+5$$ as $$x^2-[x]-5\leq 0. \quad (*)$$ Without the greatest integer function, this inequality is $% $ $x^2-x-5\leq 0. \quad (**)$las raíces de la cuadrática son $$x=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2},$$ so that the inequality $(**)$ holds when $$-1.79\approx\frac{1-\sqrt{21}}{2}\leq x\leq \frac{1+\sqrt{21}}{2}\approx 2.79.$$ Thus the upper bound on $x$ must satisfy $$x^2-2-5\leq 0,$$ so you get $x\leq \sqrt{7}$. Que debe poder continuar desde allí.