$X$ es una variable aleatoria, que no es constante. $E[X]=0$. $E[X^4] \leq 2(E[X^2])^2$. Que $Y$ dada por: $P(Y=E[X|X \geq 0]) = P(X \geq 0)$ y $P(Y=E[X|X \lt 0]) = P(X \lt 0)$.
¿Necesariamente tenemos $E[Y^4] \leq 2(E[Y^2])^2$?
Respuestas
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Mingo
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126
No. Aquí es un contraejemplo. Definir $X$ como sigue. ${\rm P}(X=a) = p_1$, ${\rm P}(X=0) = p_2$, y ${\rm P}(X=\frac{{ - ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}) = 1-p_1-p_2$, donde $a$ es una constante positiva. A continuación, ${\rm E}(X)=0$. Denotar ${\rm E}(X^4)-2 [{\rm E}(X^2)]^2$$\xi$. A continuación, $$ \xi = a^4 p_1 + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^4 (1 - p_1 - p_2 ) - 2\Big[a^2 p_1 + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^2 (1 - p_1 - p_2 )\Big]^2. $$ Para encontrar ${\rm E}(Y^4)-2 [{\rm E}(Y^2)]^2$, que denotamos por a $\eta$, lo primero que nos encontramos $$ {\rm E}[X|X \ge 0] = a{\rm P}(X = a|X \ge 0) = \frac{{{\rm P}(X = a)}}{{{\rm P}(X \ge 0)}} = \frac{{ap_1 }}{{p_1 + p_2 }} $$ y $$ {\rm E}[X|X < 0] = \frac{{ - ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}. $$ Por lo tanto, por definición, ${\rm P}(Y = \frac{{ap_1 }}{{p_1 + p_2 }}) = p_1 + p_2 $${\rm P}(Y = \frac{{ - ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}) = 1 - p{}_1 - p_2$. Por lo tanto, $$ {\rm E}(Y^i) = \Big(\frac{{ap_1 }}{{p_1 + p_2 }}\Big)^i (p_1 + p_2) + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^i (1 - p_1 - p_2), $$ de la que podemos obtener una expresión explícita para $\eta$. Ahora, la presentación de un contraejemplo, es suficiente para encontrar un triple $(a,p_1,p_2)$ que $\xi \leq 0$$\eta > 0$. Esto se hace más fácilmente con un ordenador. Aquí está un ejemplo concreto. Dejar $a=4$, $p_1=0.36$, y $p_2=0.4$,$-ap_1/(1-p_1-p_2) = -6$. Aquí, $$ a^4 p_1 + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^4 (1 - p_1 - p_2 ) = 403.2 $$ y $$ 2 \Big[a^2 p_1 + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^2 (1 - p_1 - p_2 )\Big]^2 = 414.72, $$ por lo ${\rm E}(X^4) \leq 2 [{\rm E}(X^2)]^2$; por otro lado, $$ \Big(\frac{{ap_1 }}{{p_1 + p_2 }}\Big)^4 (p_1 + p_2) + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^4 (1 - p_1 - p_2) \aprox 320.835 $$ y $$ 2\Big[\Big(\frac{{ap_1 }}{{p_1 + p_2 }}\Big)^2 (p_1 + p_2) + \Big(\frac{{ap_1 }}{{1 - p_1 - p_2 }}\Big)^2 (1 - p_1 - p_2)\Big]^2 \aprox 258.482, $$ por lo ${\rm E}(Y^4) > 2 [{\rm E}(Y^2)]^2$.
Shabaz
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403
Aquí es un comienzo. Deje $f(x)$ ser la función de densidad de probabilidad de $X$. Deje $p$ la probabilidad de que $X<0, p=\int_{-\infty }^0f(x)dx$ $Y$ tiene sólo dos valores, $y_1=\frac{1}{p}\int_{-\infty }^0xf(x)dx$ con una probabilidad de $p$ $y_2=\frac{1}{1-p}\int_0^{\infty }xf(x)dx$ con una probabilidad de $1-p$. La condición de que $E[X]=0$ nos dice que las integrales en $y_1$ $y_2$ son el negativo de la otra, llamar a$-a$$a$. Por lo $Y$ $\frac{-a}{p}$ con una probabilidad de $p$ $\frac{a}{1-p}$ con una probabilidad de $1-p$. $E[Y^2]=\frac{a^2}{p}+\frac{a^2}{1-p}=\frac{a^2}{p(1-p)}$. $E[Y^4]=\frac{a^4}{p^3}+\frac{a^4}{(1-p)^3}=\frac{a^4(p^3+(1-p)^3)}{p^3(1-p)^3}=\frac{a^4(1-3p+3p^2)}{p^3(1-p)^3}$
Wolfram Alpha dice $E[Y^4]\leq 2(E[Y^2])^2$ si $\frac{5-\sqrt{5}}{10}\leq p \leq \frac{5+\sqrt{5}}{10}$ o acerca de $0.276393 \leq p \leq 0.723607$ . Es de suponer que la condición de $E[X^4] \leq 2(E[X^2])^2$ nos puede mostrar que, pero necesito pensar más en él.
