Partición de números: $1, 2, ..., 20$

Question

Números enteros $1, 2, ..., 20$ se reparten en grupos de $2$. Suma de los números enteros en un grupo es igual a $n$ y el producto de todos números enteros en otro grupo también es igual a $n$. Encontrar el máximo $n$.

Desde $1 + 2 + ... + 20 = 210$, así que el producto de todos números enteros en otro grupo es inferior a $210$.

Por favor sugerir cómo proceder.

Answer 1

He aquí una respuesta por ensayo y error.

Observe que el producto de la menor $5$ números enteros es $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ y el producto de $6$ enteros es más grande, a continuación,$210$.

Ahora la suma será mayor si elegimos números más pequeños,vamos a tratar de hacer la suma, el máximo valor posible a $<210$ al cambiar el dígito $5$,pruebas de $8$ es el mayor dígito por lo que la suma no exceda $210$.Tenemos que $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 8=192$ y la suma es$210-1-2-3-4-8=192$, por lo que tenemos que $192$$n$.

Ahora vamos a tratar de demostrar que $n\leq 192$ $193$ es un primer $194=97\cdot 2$ donde $97$ es primo así que esas no son soluciones (porque el producto).Ahora vamos a tratar los números de $\geq 195$ después de la suma de los números es $\leq 15$ comprobación de los productos de $2$ números tales que su suma es $\leq 15$ el mayor número es $8\cdot 7=56$, ahora la comprobación de producto de $3$ números de la más grande es $5\cdot 4\cdot 6=120$ desde el más cerca de la $3$ números más grande que el producto es,la comprobación de $4$ números de conseguir que el mayor producto es $2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$ y en la última comprobación de cinco números es $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$ esta no es la respuesta, ya sea de manera llegamos a la conclusión de que $n=192$.