Teorema de rango constante dominio con límite no vacío

Question

Problema 4-3 en J. M. Lee el texto introductorio sobre lisa colectores, le pregunta a formular y probar una versión de la constante de rango teorema para un mapa de rango constante cuyo dominio es un buen colector de con límite. Es decir, mostrar que,

Si $F:M\rightarrow N$ es suave, $N$ sin límite, $F$ de constante rango de $r$, entonces, para cada punto de $p$ en $M$, $F$ tiene un local de representación de la forma $\tilde{F}(x)=(x_1, ...,x_r,0,...,0)$

Lee da una pista: Después de la ampliación de $F$ (en el caso interesante es cuando $p\in\partial M$), siga la prueba de la regular constante rango teorema, hasta que usted tiene que hacer uso de la constante de rango hipótesis. El problema puede ser que la extensión de rango superior. Lee la sugerencia de modificar el mapa por lo que tiene rango constante.

No veo cómo hacerlo.

(Si es una pregunta tonta, lo siento, no he dormido en más de 24 hs.)

Answer 1

Esta cuestión ya ha quedado abierto por un tiempo, pensé que debía pensar más detenidamente acerca de lo que se trata. @Ted Shifrin la sugerencia es la mejor manera de empezar, pero después de pensarlo por un tiempo, decidí que el problema realmente necesita una mejor sugerencia que el que puse en el libro. Así que aquí es un (esperemos) mejor sugerencia para empezar. (También he añadido esto a mi lista de correcciones en mi ISM página web.)

En primer lugar, para obtener un buen resultado, tendrás para agregar el supuesto de que $\ker dF_p\not\subseteq T_p\partial M$. Después de elegir suave coordenadas, puede suponer $M \subseteq \mathbb H^m$ y $N\subseteq\mathbb R^n$, y extender $F$ a una función suave $\widetilde F$ abierto subconjunto de $\mathbb R^m$.

Ahora, como Ted sugerido, suponiendo que $F$ tiene rango constante $r$, demuestran que hay una coordenada de proyección $\pi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^r$ tal que $\pi\circ \widetilde F$ es una inmersión, y aplicar el teorema de rango a $\pi\circ \widetilde F$ encontrar nuevas coordenadas en las que $\widetilde F$ tiene una coordenada representación de la forma $(x,y) \mapsto (x,R(x,y))$. A continuación, utilice el rango de la condición de demostrar que $R|_M$ es independiente de $y$.