Rectángulo de partición en un número finito de plazas

Question

¿Qué $x,y$ del positivo números verdaderos se puede repartir un rectángulo de $x\times y$ en un número finito de plazas?

Cuando $\dfrac{x}{y}$ es un número racional, no es difícil ver que podemos particionarlo.

También, podemos escalar el ancho a $1$, así, decir que estamos tratando con un rectángulo de $1\times c$. ¿Para qué valores de $c$ podemos hacer la partición?

Answer 1

Un rectángulo con lados $x$, $y$ y $\frac{x}{y} \not \in \mathbb{Q}$ no puede ser dividida en cuadrados. Este es un clásico debido a Dehn, Sprague y otros.

En efecto, si tenemos una partición del rectángulo en cuadrados de tamaños de $l_i$ obtenemos la igualdad de áreas $$x\cdot y = \sum l_i^2$$ Esto puede ser probado por más de disección en el rectángulo a lo largo de los lados de los cuadrados y usando la ley distributiva. El mismo argumento se puede utilizar para probar el más fuerte de la igualdad en el $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$: $$x\otimes y = \sum l_i \otimes l_i$$

Ahora imagine $\frac{x}{y}$ no es racional. Entonces existe un $\mathbb{Q}$-lineal funcional $\phi \colon \mathbb{R}\to \mathbb{Q}$, de modo que $\phi(x) = 1$$\phi(y)= -1$. A partir de la anterior igualdad se obtiene: $$\phi(x) \cdot \phi(y) = \sum_i \phi(l_i) \phi(l_i)$$ que es $-1$ es una suma de cuadrados en $\mathbb{Q}$, contradicción.

Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos utilizar la existencia de una base de Hamel $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$, se podría trabajar con el $\mathbb{Q}$ de intervalo de $x$, $y$ y todos los de la $l_i$'s.