Orden de toda la función:$\prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z}{n^k}\right)$

Question

Por favor cómo llegar orden de $$ f_k(z) = \prod\limits_{n=1}^{\infty} \left(1-\frac{z}{n^k}\right) .$ $

No $M(r) = \max \{|f_k(z)|:|z| = r\}.$ orden de $f_k(z)$ se define como: $$\lambda = \limsup_{r\to \infty} \frac{\log \log M(r)}{\log r}.$ $

Alguien puede ayudar a solucionar esto. Gracias.

Answer 1

El orden de esta función es $\frac{1}{k}$, y debemos tener $k>1$.

Prueba: en Primer lugar, tenga en cuenta que $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z}{n^{k}}\right)$ va a alcanzar su máximo módulo en el círculo de radio de $r$$z=-r$. Tomando el logaritmo de esto, necesitamos examinar $$h(r)=\log\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right).$$ If we can prove that this is bounded below and above by something close to $r^\frac{1}{k}$, then we will have shown that $\lambda=\frac{1}{k}$ since $$\lambda = \lim_{r\rightarrow \infty} \frac{\log h(r)}{\log r}.$$

Límite inferior: Tenemos que $$\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\geq\sum_{n\leq r^{\frac{\epsilon}{k}}}\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\geq r^{\frac{\epsilon}{k}}\log\left(1+r^{1-\epsilon}\right)$$ for any $0<\epsilon<1.$ Taking $\epsilon=1-\frac{1}{\log r},$ we see that $r^{1-\epsilon}=e,$ and hence the above is $$\geq e^{-\frac{1}{k}}r^{\frac{1}{k}}\log\left(1+e\right)\geq e^{-\frac{1}{k}}r^{\frac{1}{k}}.$$ This then implies that $\lambda\geq\frac{1}{k}.$

Límite superior: Hemos dividido la suma basado en el tamaño de $n$. Si $n>r^{\frac{1}{k}},$ utilizando el enlazado $\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\leq\frac{r}{n^{k}},$ hemos $$\sum_{n>r^{\frac{1}{k}}}^{\infty}\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\leq r\sum_{n>r^{\frac{1}{k}}}^{\infty}\frac{1}{n^{k}}\ll\frac{r}{r^{\frac{1}{k}k-1}}=r^{\frac{1}{k}}.$$ Next, for $n^{k}\leq r,$ we have that $\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\leq\log\left(r+1\right),$ which implies that $$\sum_{n\leq r^{\frac{1}{k}}}^{\infty}\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\leq r^{\frac{1}{k}}\log\left(r+1\right).$$ Thus $$\sum_{n=1}^{\infty}\log\left(1+\frac{r}{n^{k}}\right)\ll r^{\frac{1}{k}}\log r,$$ which implies that $\lambda\leq\frac{1}{k}.$