Prueba formal para $(-1) \times (-1) = 1$

Question

¿Existe una prueba formal para $(-1) \times (-1) = 1$? Es una fórmula fundamental no sólo en la aritmética, sino también en el conjunto de las matemáticas. ¿Hay una prueba para él o se lo asume?

Answer 1

La Ley de los Signos $\rm\: (-x)(-y) = xy\:$ que no está normalmente se asume como un axioma. Más bien, se deriva como consecuencia de la más fundamental Anillo de axiomas $ $ [esp. la ley distributiva $\rm\,x(y+z) = xy + xz\,$], las leyes que resumen el común algebraicas estructura compartida por familiares número de sistemas. A continuación están algunas maneras para demostrar la ley de los signos (aviso de que los/subrayado términos de $= 0)$

$\begin{eqnarray}\rm{\bf Law\ of\ Signs}\ proof\!:\ &&\rm (-x)(-y) = (-x)(-y) + \underline{x(-y + y)} = \overline{(-x+x)(-y)} + xy = xy\\ \\ \rm Equivalently,\ evaluate &&\rm\overline{(-x)(-y)\! +} \overline{ \underline {x(-y)}} \underline{ +xy_{\phantom{.}}}\ \ \text{in two ways, over or underlined first}\\ \\ \rm More\ conceptually:\quad\, &&\rm (-x)(-y)\quad\ and\ \quad xy\ \ \ \text{are both inverses of} \ \ x(-y)\\ && \text{hence they are equal by } {\bf uniqueness\ of\ inverses}\end{eqnarray}$

De hecho, los anteriores son casos especiales de un análogo de la prueba de la singularidad de los inversos aditivos

$$\rm {x\color{#0A0}+y} = 0 = x\color{#C00}+y' \ \ \Rightarrow\ \ y' = y'\!+(x\color{#0A0}+y) = (y'\!\color{#C00}+x)+y = y$$

Observe que las pruebas a las que sólo utilice el anillo de leyes (en particular la ley distributiva), de modo que la ley de los signos es cierto en cada anillo. El distributiva de la ley está en la base de cada anillo teorema que es no degenerada, es decir, implica tanto la adición y la multiplicación, ya que es el único anillo de la ley que se conecta el aditivo y multiplicativo estructuras que, combinados, forman la estructura de anillo. Sin la ley distributiva de un anillo, sería mucho menos interesante algebraicamente, la reducción a un conjunto con aditivos y multiplicativos de la estructura, pero sin la hipótesis de relación entre los dos. Por lo tanto, en cierto sentido, la ley distributiva es la keystone de la estructura de anillo.

Answer 2

En un anillo, que se sostiene, donde $1$ denota el elemento de unidad ($1x=x=x1$ para todos $x$) y $-x$ denota el inverso aditivo ($x+(-x)=0$ % todo $x$).

$x=1\cdot x=(1+0)\cdot x=1\cdot x+0\cdot x=x+0\cdot x$. Luego, con el grupo aditivo, sigue que $0\cdot x=0$ % todos $x$.

Ahora uso distributividad por $$0=(1+(-1))(-1).$ $

Answer 3

Supongamos que se nos ha dado los números naturales $\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$ con los axiomas de Peano. En otras palabras, sabemos lo que significa "añadir" y "multiplicar" cualquiera de los dos números en $\mathbb{N}$, podemos decir si un número natural es más grande que otro, y si $x>y$, sabemos lo $x-y$ significa que---es decir, $x-y$ es la natural (esto es importante) que cuando se añade a $y$ consigue $x$.

Para obtener los números enteros, tenemos que definir lo que los números negativos. Podemos hacer esto mediante la representación de cada número entero (que por el momento es una palabra sin definir) por pares de números naturales: Considere que cualquiera de los dos pares de $(x,y)$ $(x',y')$ de los números naturales. Nos gustaría que estos chicos que "representan el mismo número entero" si $x-y=x'-y'$. Pero lo que si $x<y$? Entonces no sabemos lo $x-y$ significa! Por lo tanto, tenemos que hacer un poco de malabares. Decimos que $(x,y)$ $(x',y')$ "representan el mismo número entero" si $x+y'=x'+y$. Finalmente, podemos definir el conjunto de números enteros $\mathbb{Z}$ a ser el conjunto de todos estos pares, donde dos parejas se consideran iguales si ambos representan el mismo entero". Por ejemplo, definimos $-1$ a ser el par $(0,1)$ (que es el mismo que el de los pares de $(2,3)$$(7921,7920)$).

A ver cómo definir la multiplicación de números enteros, podemos usar papel de ALUMINIO: Con nuestro habitual enteros, tenemos $(a-b)(c-d)=-ad-bc+ac+bd$, por lo que simplemente definir que este sea el caso con nuestros nuevos números enteros: es decir, $(a,b)(c,d)$ se define a ser $(ac+bd,ad+bc)$. En particular, esto significa que $(-1)(-1)=(0,1)(0,1)=(0\cdot 0 + 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0)=(1,0)=1$.

Answer 4

Utilizando reglas del álgebra (distributividad) que se aplican a enteros positivos tenemos que: $[(-1)\times (-1)]+[(-1)\times 1]=(-1)\times (-1 + 1)=(-1)\times 0$.

$(-1)\times 0=(-1)\times (0+0)=(-1)\times 0 + (-1)\times 0$ Más y así, restando $(-1)\times 0$ en ambos lados, obtenemos $0=(-1)\times 0$.

A la conclusión: por querer preservar las reglas de álgebra válido para números positivos a los números negativos, somos guiados a Buscar que $[(-1)\times (-1)]+[(-1)\times 1]=0$ y así que $(-1)\times (-1)=-[(-1)\times 1]=-(-(1))=1$.

Y sólo para el registro, la claridad y la cordura: nada, sin excepción, en matemáticas sólo se supone. Siempre hay una razón.