Por que $\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos (x)$?

Question

¿Por qué? Puede alguien darme un enlace o explicar a continuación. Gracias

Answer 1

Por las identidades de ángulo suma y el hecho de que el $\lim_{h\to 0} \frac{\sin{h}}{h} = 1$ $\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}=0$ es hacia adelante

$$\begin{array}{rcl} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h} &=& \frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}\\ &=&\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)}{h}+\frac{\cos(x)\sin(h)}{h} \\ & \stackrel{h\to0}{\longrightarrow}&\cos(x) \end{matriz} $$

Answer 2

Aquí es una manera de verlo. Utilizar la identidad $\sin(x+\epsilon) = \sin(x)\cos(\epsilon) + \cos(x)\sin(\epsilon)$ en la definición de la derivada:\begin{align*} \frac{\sin(x+\epsilon) - \sin(x)}{\epsilon} &= \frac{\sin(x)\cos(\epsilon) + \cos(x)\sin(\epsilon) - \sin(x)}{\epsilon}\\ &=\sin(x)\bigg(\frac{\cos(\epsilon) - 1}{\epsilon}\bigg) + \cos(x)\frac{\sin(\epsilon)}{\epsilon} \end{align*} sabes que $$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\cos(\epsilon) - 1}{\epsilon}=0$ $ y $$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\sin(\epsilon)}{\epsilon} = 1.$ $ (estas deben ser en el capítulo de tu libro de texto sobre límites y el teorema del apretón).

Ahora tome $\epsilon\to 0$ en el cociente de la diferencia y, como magia, voila! $$\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x).$$

Answer 3

Todas las otras respuestas son muy buenas, pero aquí es sólo otra forma de ver lo que puede ser muy útil.

Es bueno utilizar las definiciones:

$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Con estas definiciones, inmediatamente se puede demostrar que todas las grandes identidades trigonométricas que uso todos los días, a partir de la fórmula de la suma a la fórmula del producto o la suma de los cuadrados. Así que estos son muy útiles las definiciones para que se sienta cómodo con. Incluso va a venir muy bien para entender por qué, cuando usted aprende acerca de las series infinitas, salta la par o impar de términos en las expansiones, respectivamente.

Ahora, con estas definiciones, se debe tener claro el uso de

$$\frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}$$ y $$\frac{d}{dx}e^{-ix}=-ie^{-ix}$$

cómo se puede conseguir directamente la fórmula para los derivados de estas dos funciones trigonométricas.

Answer 4

La asignación de $C:t\mapsto (\cos t,\sin t)$ define un movimiento circular de un punto a lo largo del círculo unidad: en el momento $t$ el punto se encuentra en el ángulo de $t$ medido en radianes desde el ala derecha de $x$-eje.

Sus derivados en el momento en $t$ intuitivamente (y el tiempo) es el vector de velocidad . Su longitud es de $1$ (debido a que la circunferencia del pasaje tomado hasta ahora en el momento en $t$ es solo el ángulo multiplicado por el radio, es igual a $t$) y es tangente al círculo en el punto de $C(t)$, por lo que es ortogonal a los vectores $C(t)$ (desde el origen), en la dirección de movimiento.

Con todo, el uso de $(a,b)\perp (-b,a)$, el vector de velocidad es $(-\sin(t),\cos(t))$ .

Esto se ilustra por qué $$(\cos(t),\sin(t))'=(\cos'(t),\sin'(t))=(-\sin(t),\cos(t))\,.$$

Answer 5

Un detallado y preciso de la respuesta depende de la definición de $\sin$ $\cos$ que utiliza, así como en las propiedades de estas funciones que ya están establecidas.

En la escuela secundaria, es común definir estas funciones geométricamente, mediante la elaboración de ciertos triángulos o por considerar el círculo unidad. A continuación, calcular la derivada de $\sin(x)$ en cualquier punto de $x$ puede ser reducido a la computación en $0$, mediante el uso de algunas identidades trigonométricas que fácilmente puede ser derivada a partir de la definición geométrica. Luego, se establece que $\sin '(0)=\cos(0)=1$ se reduce a probar que $\lim_{h\in 0}\sin(h)/h=1$. Este límite se llama el primer límite fundamental y su prueba requiere de ciertos cuidados y el uso de la presión lema para las funciones.

Un enfoque más moderno, es para definir a $\sin x$ $\cos x$ en términos de convergencia de la serie. Ya que dicha serie se puede derivar término-sabio, la prueba de la anterior afirmación se convierte en un sistema muy fácil de cálculo, pero dudo que hayas visto la serie todavía, pero usted tendrá.