Matrices con entradas en$C^*$ - álgebra

Question

Deje $\mathcal{A}$ $C^*$- álgebra. Considere el espacio vectorial de las matrices de tamaño $n\times n$ cuyas entradas en $\mathcal{A}$. Denotar este espacio vectorial $M_{n,n}(\mathcal{A})$. Podemos definir la involución en $M_{n,n}(\mathcal{A})$ por la igualdad $$ [a_{ij}]^*=[a_{ji}^*],\qquad\text{donde}\quad [a_{ij}]\en M_{n,n}(\mathcal{A}). $$ Así tenemos una involutiva álgebra $M_{n,n}(\mathcal{A})$. Es bien sabido que no existen en la mayoría de una norma en $M_{n,n}(\mathcal{A})$ lo que es un $C^*$-álgebra. Esta norma no existe. De hecho, tomar la representación universal $\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}(H)$ y definir lineal inyectiva $^*$-homomorphism $$ \Pi:M_{n,n}(\mathcal{A})\a\mathcal{B}\left(\bigoplus\limits_{k=1}^n H\right):[a_{ij}]\mapsto\left((x_1,\ldots,x_n)\mapsto\left(\sum\limits_{j=1}^n\pi(a_{1j})x_j,\ldots,\sum\limits_{j=1}^n\pi(a_{nj})x_j\right)\right) $$ Por lo tanto podemos definir la norma en $M_{n,n}(\mathcal{A})$$\left\Vert[a_{ij}]\right\Vert_{M_{n,n}(\mathcal{A})}=\Vert\Pi([a_{ij}])\Vert$. A primera vista esta definición depende de la elección de la representación, pero en realidad no.

Mi pregunta Esta norma en $M_{n,n}(\mathcal{A})$ pueden ser definidos internamente. Es decir, $$ \Vert[a_{ij}]\Vert_{M_{n,n}(\mathcal{A})}=\sup\left\Vert\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n x_i a_{ij}y_j^*\right\Vert $$ donde supremum se toma sobre todas las tuplas $\{x_i\}_{i=1}^n\subset\mathcal{A}$, $\{y_i\}_{i=1}^n\subset\mathcal{A}$ tal que $\left\Vert\sum\limits_{i=1}^n x_i x_i^*\right\Vert\leq 1$, $\left\Vert\sum\limits_{i=1}^n y_i y_i^*\right\Vert\leq 1$. Hay una prueba de este hecho sin el uso estructural del teorema de $C^*$-álgebras, una sencilla prueba que puede ser hecho por la simple comprobación de los axiomas de $C^*$-álgebras?

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P. S. No es otra respuesta a esta pregunta en mathoverflow.net

Answer 1

Esta norma trata de la consideración de $M_n(\mathcal A)$ como actuar como operadores en el Hilbert C*-módulo de $\mathcal A^n$, y no el espacio de Hilbert se requiere la representación. Voy a intentar dar una bastante mínima visión general de la situación en este caso especial, y más detalles se pueden encontrar en el primer capítulo de Lance Hilbert C*-módulos: un kit de herramientas para el operador algebraists. Cuán sencillo es depende de la familiaridad que se tiene con estos objetos. Por favor, siéntase libre de preguntar para su elaboración.

Definir en la suma directa de $\mathcal A^n$ $\mathcal A$valores interior del producto $\langle\cdot,\cdot\rangle:\mathcal A^n\times\mathcal A^n\to\mathcal A$, dado por $$\langle (x_i),(y_i)\rangle=\sum_{i=1}^n x_i^*y_i.$$ La norma en $\mathcal A^n$ $\|(x_i)\|=\sqrt{\|\langle(x_i),(x_i)\rangle\|}$ (la de Cauchy-Schwarz desigualdad de Hilbert C*-módulos, la Proposición 1.1 en la página 3 de la Lanza, le da una manera de ver que esto es de hecho una norma). Deje $\mathcal L(\mathcal A^n)$ denota el conjunto de adjointable operadores en $\mathcal A^n$. Estos son los mapas de $T:\mathcal A^n\to\mathcal A^n$ tal de que no existe un mapa de $T^*:\mathcal A^n\to\mathcal A^n$ satisfacción $\langle T(x_i),(y_i)\rangle=\langle(x_i),T^*(y_i)\rangle$ todos los $(x_i),(y_i)\in\mathcal A^n$. Con el operador de la norma, $\mathcal L(\mathcal A^n)$ es un cerrado subalgebra de la álgebra de Banach de todos los operadores acotados en el espacio de Banach $\mathcal A^n$, lo $\mathcal L(\mathcal A^n)$ es un álgebra de Banach. Con el conjugado lineal involutiva anti-automorphism $T\mapsto T^*$, es también una $*$-álgebra. Un sencillo cálculo muestra que $\|T^*T\|=\|T\|^2$ todos los $T$, lo $\mathcal L(\mathcal A^n)$ es una C*-álgebra.

Deje $\pi:M_n(\mathcal A)\to\mathcal L(\mathcal A^n)$ ser definido por $\pi[a_{ij}](x_i)=\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j\right)$; es decir, $\pi$ es la acción de $M_n(\mathcal A)$ $\mathcal A^n$ por la multiplicación de matrices con vectores columna. El hecho de que $\pi([a_{ij}]^*)=(\pi[a_{ij}])^*$ muestra que el codominio de $\pi$ es adecuado. Desde $\pi$ es un inyectiva $*$-homomorphism entre el $C^*$-álgebras, es isométrico (como alternativa, este podría ser usado para definir el único C*-norma en $M_n(\mathcal A)$). (Por cierto, $\pi$ es surjective si y sólo si $\mathcal A$ es unital.)

Vamos a ver cómo esto le da a la caracterización en la cuestión de la norma. Deje $[a_{ij}]\in M_n(\mathcal A)$. A partir de la definición de la norma en $\mathcal A^n$ y la de Cauchy-Schwarz desigualdad de Hilbert C*-módulos, $$\sup\limits_{\|(x_i)\|,\|(y_i)\|\leq 1}\left\Vert\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n x_i^* a_{ij}y_j\right\Vert=\sup\limits_{\|(x_i)\|,\|(y_i)\|\leq 1}\|\langle (x_i),\pi[a_{ij}](y_i)\rangle\|=\|\pi[a_{ij}]\|=\|[a_{ij}]\|.$$ This is what you have, but with a slightly different appearance due to the convention I used (following Lance) for how the inner product on $\mathcal A^n$ es definido.