Cálculo de las curvas integrales de un campo vectorial

Question

¿Cómo calculo las curvas integrales de un campo vectorial, es decir, cómo haría para calcular las curvas integrales de:

Defina el campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ por:

$ u = x_1\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_2} +x_2\frac{\partial}{\partial x_1} + x_3\frac{\partial}{\partial x_3}$

Gracias por su ayuda

Answer 1

Lo que dice lhf en los comentarios es cierto en general: La mayoría de las veces, no hay esperanza de encontrar una solución de forma cerrada. Sin embargo, en este caso, podemos hacerlo.

Sea $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t), \gamma_3(t)$ sea una curva integral con punto inicial $\gamma(0) = (x_0, y_0, z_0)$ . ¿Qué significa esto?

Significa que $u$ en el punto $\gamma(t)$ es igual a $\gamma'(t)$ . Vamos a escribirlo. Voy a utilizar $\partial_k$ para $\dfrac{\partial}{\partial x_k}$ para ahorrar tecleo.

$$u(\gamma(t)) = \gamma_1 \partial_2 + \gamma_2 \partial_1 + \gamma_3\partial_3$$ y $$\gamma'(t) = (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \gamma_3'(t)) = \gamma_1' \partial_1 + \gamma_2'\partial_2+\gamma_3' \partial_3.$$

Si se igualan entre sí y se igualan los coeficientes, obtenemos un sistema de EDO que hay que resolver:

$$\gamma_1' = \gamma_2$$ $$\gamma_2' = \gamma_1$$ $$\gamma_3' = \gamma_3$$

Las dos primeras ecuaciones están acopladas, pero la tercera no, así que vamos a resolverla primero. La solución de $\gamma_3' = \gamma$ es $\gamma(t) = Ce^t$ para alguna constante $C$ .

Hay un proceso conocido para resolver EDO lineales acopladas, pero en este caso, creo que es más fácil simplemente adivinar una solución. Queremos dos funciones de modo que si empezamos con una y tomamos dos derivadas, volvemos al punto de partida. Esto sugiere que intentemos $\gamma_1(t) = Ae^t + Be^{-t}$ . Introduciendo esto en la segunda ecuación se obtiene $\gamma_2(t) = Ae^t-Be^{-t}$ y es fácil comprobar que esta elección de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ resuelve la segunda ecuación.

El resultado es que ahora sabemos $\gamma(t) = (Ae^t + Be^{-t}, Ae^t -Be^{-t}, Ce^t)$ . ¿Cuáles son $A$ , $B$ y $C$ ?

Bien, $\gamma(0) = (A+B,A-B, C) = (x_0,y_0,z_0)$ . Así que.., $A = \frac{x_0+y_0}{2}$ y $B = \frac{x_0-y_0}{2}$ mientras que $C = z_0$ .