$\int \sec^3x dx$ disfrazada

Question

He encontrado esta integral, $$\int \sqrt{x^2+1}dx$$ en una lista de problemas y creo que es una manera disimulada de la ocultación de un $\int \sec^3xdx$ problema, pero no estoy seguro de si lo que hizo fue correcta, aunque, a causa de lo que sucede al final.

Así que lo que hice fue usar trig-sustitución y deje $u=\tan\theta$ $du=\sec^2\theta d\theta$ $$\int \sqrt{x^2+1}dx=\int\sqrt{\tan^2\theta+1}\sec^2\theta d\theta=\int \sec^3\theta d\theta$$ $$= \int (\tan^2\theta+1)\sec\theta d\theta = \int \tan^2\theta \sec\theta +\int \sec\theta d\theta$$ Voy a calificar $I_s=\int \sec\theta d\theta = \ln|\sec\theta+\tan\theta|$, por lo que he $$\int \sec^3xdx=\int\tan^2x\sec x dx+I_s$$ y use integración por partes para solucionar $\int tan^2\theta \sec\theta d\theta$ que queda. Dejo $u=\sec\theta$ $du=\sec\theta\tan\theta d\theta$ $dv=\tan^2\theta\, d\theta$ tal que $v=\tan\theta -\theta$ $$\int\tan^2x\sec x dx =\sec\theta (\tan\theta -\theta) - \int (\tan\theta-\theta)\sec\theta\tan\theta d\theta$$ $$= \frac 12 \sec\theta (\tan\theta -\theta) + \frac 12\int \theta \sec\theta\tan\theta \, d\theta$$ De nuevo yo use integración por partes, esta vez en $\frac 12\int \theta \sec\theta\tan\theta \, d\theta$ y deje $u=\theta$ $du=d\theta$ $dv=\sec\theta\tan\theta \,d\theta$ $v=\sec\theta$ $$\frac 12\int \theta \sec\theta\tan\theta \, d\theta = \frac 12 \theta \sec\theta - \frac 12 I_s$$ $$= \frac 12(\theta\sec\theta - I_s)$$ y utilizar este resultado para obtener $$\int\tan^2x\sec x dx = \frac 12 \sec\theta (\tan\theta -\theta) + \frac 12(\theta\sec\theta - I_s)$$ $$= \frac 12 \sec\theta\tan\theta - \frac 12 I_s$$ Poner todo de nuevo juntos, incluyendo una constante arbitraria $C$ i get $$\int \sec^3\theta\,d\theta = \int \tan^2\theta\sec\theta d\theta + I_s$$ $$= \frac 12 \sec\theta\tan\theta - \frac 12 I_s + I_s + C$$ $$=\frac 12\sec\theta\tan\theta +\frac 12 \ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$$ y sustituyendo de nuevo en $x$-variable de términos de uso $\tan\theta = x$ he $\sec\theta = \sqrt{x^2+1}$, por lo que $$\int \sqrt{x^2+1}dx =\frac 12x\sqrt{x^2+1} +\frac 12 \ln|\sqrt{x^2+1}+x|+C$$ La razón por la que no estoy seguro acerca de esto es porque cuando la sustitución de he a $\sec\theta = \sqrt{x^2+1}$ que es el mismo que el integrando $\sqrt{x^2+1}$ que se convirtió en $\sec^3\theta$ en las primeras sustituciones. ¿Qué está pasando aquí?

Gracias a todos por la valiosa ayuda!

Answer 1

Desde su trig sub$x=\tan\theta$,

\begin{align} \int \sqrt{x^2+1}dx&=\int \sec\theta(\sec^2\theta d\theta) \end{align}

Es decir,$\sqrt{x^2+1}=\sec\theta$ y$dx=\sec^2\theta d\theta$. El integrando sólo cambió a$sec^3\theta$ después de estas dos piezas son consideradas.

De modo tranquilizador,$\sqrt{x^2+1}\ne\sec^3\theta$, debido$dx\ne d\theta$.

Answer 2

Es simplemente cómo funciona la integración, ha enchufado$x=\tan\theta$ para obtener$\sqrt{1+x^2}$ a la igualdad$\sec\theta$, su respuesta es completamente correcta. El hecho de que$\sec\theta=\sqrt{x^2+1}$ no significa que$\int\sqrt{1+x^2}dx=\int\sec\theta d\theta$ como se reconoce por la regla de la cadena.