Deje$X \sim Gamma(3,3)$ y$Y \sim Exp(1)$.
¿Cómo calculo$P(X>Y)$?
Creo que vuelvo a escribir como$P(X-Y>0)$, pero estoy seguro de cómo calcular$X-Y$ para dos distribuciones diferentes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si $X$ tiene función de densidad de $\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$ e independientes $Y$ tiene función de densidad de $\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$, luego \begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}
Considerar también la posibilidad de un proceso de Poisson con la llegada de la tasa de $\lambda+1$. Podemos descomponer este proceso en dos independientes de Poisson subprocesos $\mathcal X$ $\mathcal Y$ de las tasas de $\lambda$$1$, respectivamente, en el etiquetado de cada llegada como pertenecientes a la $\mathcal X$ proceso (con una probabilidad de $\frac{\lambda}{\lambda+1}$) o a la $\mathcal Y$ proceso (con una probabilidad de $\frac{1}{\lambda+1}$), con cada etiqueta de ser elegidos independientemente de todas las demás etiquetas. A continuación, $X$ puede ser considerado como el tiempo de la tercera llegada (después de $t = 0$ $\mathcal X$ subproceso mientras que $Y$ es el momento de la llegada por primera vez (después de $t = 0$ $\mathcal Y$ subproceso. Con esta interpretación, $X < Y$ es sólo el caso de que las tres primeras llegadas después de las $t=0$ fueron todos los etiquetados como pertenecientes a la $\mathcal X$ subproceso, y este evento ha probabilidad $\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$. Mira, Ma! No las integrales se calculan en llegar a la respuesta!
soakley
Puntos
1968
Existe una relación entre la beta y gamma variables aleatorias que conduce a una expresión general para $P[X>Y]$ para cualquiera de los dos independientes gamma variables aleatorias.
Si $X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$ $Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$ donde $\alpha$ es la forma de parámetros, $\beta$ es el parámetro de escala, y la media es $\alpha \beta,$
$$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$$
donde $H$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria beta. En su caso, me calcular el $P[X>Y]=0.984375$
Si usted ha usado diferentes parametrización de la distribución gamma, este tendrá que ser ajustado.
Aquí está el desarrollo. Podemos construir $\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$ $\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$ Ahora considere $$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$$
Es conocido (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution, Relacionados con la distribución y las Propiedades de la Sección) que $W$ tiene una distribución beta con la primera forma de parámetros de $\alpha_2$, y la segunda forma de parámetros de $\alpha_1.$
Así que, a continuación, $$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$$
donde $H$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria beta.
Tomando recíprocos y la simplificación, $$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$$
$$ = P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$$
Pat
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140
La rote manera de computar $P[Y>X]$ es por la integral doble
$$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy $$
Donde el interior de la integral puede ser reconocida como la supervivencia de la función de $Y$, una exponencial con parámetro de $\lambda=1$,$x$, igual a $e^{-x}$. Luego el resto de la integral
$$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx $$
puede ser reconocido como el momento de la generación de la función de $X$ evaluado en $-1$. La MGF de una$\rm{Gamma}$$(1-\theta t)^{-k}$, que para $\theta = 3, k=3, t=-1$ es
$$(1+3)^{-3} = 0.015625$$
La pregunta era para $P[X>Y] = 1-P[Y>X]$, por lo que queremos
$$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$$
lo cual está de acuerdo con soakley la respuesta.
