¿Cómo los subgrupos de$(\mathbb C,+)$, que se conectan en$\mathbb C$ parece? Pueden ser caracterizados de alguna manera? (Como por ejemplo, los subgrupos de$(\mathbb C\setminus \{0\} , .)$, que son compactos en$\mathbb C$, siempre se encuentran en$S^1$). Si esta clase es demasiado grande, entonces lo que si asumimos los subgrupos para ser conectado camino? (Para una cosa, debe ser incontable)
Respuesta
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studiosus
Puntos
19728
Hay algunos totalmente extraño conectado subgrupos de $(R^2,+):
F. B. Jones, Conectado y desconectado de avión conjuntos y funcional de la ecuación de $f(x)+f(y)=f(x+y)$. Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 48, (1942) 115-120.
M. Ryuji, conectado A un denso adecuada subgrupo de $R^2$ cuyo complemento es densa. Proc. AMS 97 (1986) 556-558.
Dado estos ejemplos, que yo soy muy escéptico de que uno puede razonablemente clasificar conectado subgrupos.
Por otro lado, si se asume que su subgrupo es el camino-conectado, a continuación, Yamabe del teorema muestra que cada trayectoria-conectado subgrupo de Lie del grupo de $G$ es analítica, es decir, se obtiene por exponentiating una subalgebra en la Mentira de álgebra de $G$:
H. Yamabe, En un arcwise conectado subgrupo de un grupo Mentira. Osaka Matemáticas. J. 2, (1950) 13-14.
y un análisis más detallado (y legible) prueba:
M. Goto, En un arcwise conectado subgrupo de un grupo Mentira. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 20 de 1969 157-162.
En su caso, la Mentira álgebra es $R^2$, considerado como espacio vectorial (la Mentira de soporte es idéntica a cero) y su Mentira subalgebras son subespacios vectoriales de $R^2$. La Mentira y la exponenciación en este caso es el mapa de identidad. De ello se desprende que la ruta de acceso conectado a subgrupos de $(R^2, +)$ son subespacios lineales de $R^2$.
