La integración de $e^x / (e^x - 2)$

Question

Bueno, yo esperaba que esto sea una tarea bastante simple, pero en el portal de internet de mi uni se afirma tengo cero puntos, aunque recuerdo muy claramente que esto es exactamente lo que hice. Donde está mi error?

Tarea: $\int \frac{e^x}{e^x - 2}dx$

Primero apliqué una sustitución, como siempre me resulta agradable tener sólo una sola variable por debajo de la fracción para ver las posibles conexiones estándar integrales.

Así que he usado u = $e^x - 2$. Esto también requiere u' o $\frac{du}{dx}$= $e^x$. Reorganización de esto da dx = $\frac{du}{e^x}$ que podemos insertar. Así que ahora tenemos:

$\int \frac{u + 2}{u} * \frac{du}{e^x}$

{Estoy expresando la $e^x$ en el numerador con mi sustitución demasiado, es una buena práctica? O debo dejarlo simplemente como $e^x$ la próxima vez? En el siguiente paso se ve que no era tan inteligente aquí, pero, ¿qué acerca de la regla general?}

Ahora veo que puedo acortar ${e^x}$ si puedo deshacer de la sustitución en el numerador de nuevo:

$\int \frac{e^x -2 + 2}{u} * \frac{du}{e^x}$

{Ahora me acortar ${e^x}$ por el cruce en el denominador de $\frac{du}{e^x}$ y cruz todo el numerador de $\frac{e^x -2 + 2}{u}$ y reemplazarlo con 1. O explicaciones adicionales de ser necesario aquí?} Esto deja:

$\int \frac{1}{u}du$

que es una norma integral = ln(u). Por fin puedo deshacer la sustitución: u = $e^x -2$ que deja como nuestro resultado:

ln($e^x -2$)

Yo, a continuación, agregue el valor absoluto debido a la conducta de ln: Solución Final:

ln($|e^x -2|$) + C

Answer 1

Como otros han dicho, el resultado fue correcta, pero tomó el camino más largo para llegar allí. Donde podría haber salvado a tiempo.

$u = e^x - 2$ es una buena sustitución

$du = e^x dx$

aquí se podría haber ahorrado un par de pasos:

$\int \frac {e^x}{e^x - 2} \ dx = \int \frac {(e^x dx)}{e^x - 2} = \int \frac {du}{u}$

Y usted podría incluso caer el paso intermedio.

Es más limpio que el que lo tiene.

Answer 2

Su solución es correcta. Aviso de que su integral es de la forma: $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}~dx=\ln|f(x)|+C$$ Así que usted puede fácilmente obtener la solución si usted sabe de este hecho.

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El portal en línea puede haber querido omitir el valor absoluto de los signos como @Ian sugerido o puede ser debido a los soportes de montaje que he añadido en $\ln(|f(x)|)+C$.

Answer 3

Deje $e^{x}-2 = z$

$d(e^{x}-2)/dx = e^x$

Por lo tanto $e^x dx$ = $dz$

A continuación, $∫e^x/(e^x-2) dx = ∫dz/z = \ln(z)+c=\ln(e^x-2)+C$ [donde c es la constante de integración]