El uso de la integración para la estimación de $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac 1 {n+1}\sum\limits_{k=0}^n \frac 1 {k+1}$

Question

Deje $$v_n=\dfrac 1 {n+1}\sum_{k=0}^n \dfrac 1 {k+1}$$ Queremos estudiar la suma de $$S=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n v_n$$

El problema dice que primero debemos encontrar $\omega(x)$ s.t. $$v_n=\int_0^1 x^n\omega(x)dx$$ Entonces tendremos la $S=\int_0^1\dfrac {\omega(x)} {1+x}dx$, pero no puedo encontrar $\omega(x)$. ¿Cuál es la idea de la construcción de tales integral?

Answer 1

Recordar la serie geométrica:

$$\sum_{k=0}^nx^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$

Integrar ambos lados de cero a uno,

$$\sum_{k=0}^n\frac1{k+1}=\int_0^1\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\ dx$$

De esto se sigue que

$$v_n=\int_0^1\frac{1-x^{n+1}}{(n+1)(1-x)}\ dx$$

Aplicar la integración por partes para obtener

$$v_n=-\int_0^1x^n\ln(1-x)\ dx$$

para cada $n$, por lo tanto $$S=-\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{1+x}\ dx$$

Answer 2

Después de obtener $$ S = -\int_{0}^{1}\frac{\log(1-x)}{1+x}\,dx = -\int_{0}^{1}\frac{\log x}{2-x}\,dx =-\left.\frac{d}{d\alpha}\int_{0}^{1}\frac{x^{\alpha}\,dx}{2-x}\,\right|_{\alpha=0^+}$$ también tenemos $$ S = \text{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right) = \color{red}{\frac{\pi^2}{12}-\frac{\log(2)^2}{2}}$$ por el dilogarithm reflexión fórmula.