¿Cómo convierte el producto punto una matriz en un escalar?

Question

Estoy aprendiendo álgebra lineal, y estoy un poco confundido por el producto punto y cómo la respuesta al proceso resulta ser un escalar en lugar de una matriz.

Para $2$ vectores con $2$ componentes, aprendí que el producto punto es equivalente a un vector fila de $1 \times 2$ multiplicado por un vector columna de $2 \times 1$. El resultado de tal multiplicación debería ser un vector de $1 \times 1$. Pero estoy aprendiendo que el producto punto de alguna manera transforma el resultado en un escalar, en lugar de un vector de $1 \times 1$.

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero la diferencia entre un vector de $1 \times 1$ y un escalar parece importante, porque puedes multiplicar un escalar por una matriz de cualquier tamaño, pero solo puedes multiplicar a la izquierda un vector de $1 \times 1$ por otra matriz con $1$ fila.

Gracias por cualquier ayuda para entender esto.

Answer 1

A veces simplemente decimos que una matriz $1\times 1$ es lo mismo que un escalar. Después de todo, cuando se trata de la suma y multiplicación de matrices $1\times 1$ versus la suma y multiplicación de escalares, la única diferencia entre algo como $\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}$ y $3$ son algunos corchetes. Considera $$(3+5)\cdot 4 = 32 \\ (\begin{bmatrix} 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5\end{bmatrix})\begin{bmatrix} 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 32\end{bmatrix}$$ El álgebra funciona exactamente igual. Así que a veces no es ridículo pensar en las matrices $1\times 1$ como solo otra forma de escribir escalares.

Pero si quieres distinguir entre los dos, entonces simplemente piensa en la fórmula $a\cdot b = a^Tb$ como una forma de averiguar qué escalar obtienes del producto punto de $a$ y $b y no literalmente el valor del producto punto en sí (que debería ser escalar). Es decir, calculamos el producto punto de $\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 3 \\ 4\end{bmatrix}$ usando la fórmula $$\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} 3 \\ 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11\end{bmatrix}$$ y luego decimos que esto nos dice que el producto punto es realmente $11$. Así que la fórmula $a^Tb$ es solo un algoritmo que usamos para encontrar el escalar correcto.

Puedes verlo de cualquier manera. Realmente no hace ninguna diferencia.

Answer 2

No estás equivocado y siempre es bueno examinar las declaraciones muy cuidadosamente. Normalmente no distinguimos las matrices de 1$\times$1 de los escalares, y en cierto sentido puedes pensar en la multiplicación escalar como una regla especial cuando una de las matrices es 1$\times$1. Pero la verdad es que es un conveniente abuso de notación.

Aquí hay otra cosa en la que pensar. Una matriz real de $1 \times 1$ se supone que representa una transformación lineal de un espacio vectorial real unidimensional en un espacio vectorial real unidimensional--esencialmente solo $\mathbb R$ en $\mathbb R$. Las únicas transformaciones de ese tipo son aquellas que llevan $x \mapsto ax$ para algún número real fijo $a$. Pero esta transformación está enteramente determinada por ese número real $a, por lo que son básicamente equivalentes.

Answer 3

Es cierto que solo se puede multiplicar una matriz de $m \times n$ por una matriz de $n \times p$, es decir, el tamaño de columna de la matriz izquierda tiene que coincidir con el tamaño de fila de la matriz derecha. Con esto, podemos concluir que el producto de una matriz de $1 \times 1$ por una matriz de $n \times p$ no tiene sentido para $n > 1.

Dicho esto, el espacio de matrices es un espacio vectorial, por lo que tiene multiplicación entre escalares y matrices. Por lo tanto, tiene sentido multiplicar un escalar por una matriz. Una vez que te das cuenta de que el espacio de los escalares y las matrices de $1 \times 1$ se pueden identificar, la confusión desaparece.

Answer 4

Hay dos formas de ver productos punto:

• El producto escalar de dos vectores $(v_1,...,v_n)$ y $(w_1,...,w_n)$ puede ser simplemente definido como la suma $v_1w_1+\cdots+v_nw_n$, y así es un escalar por definición, o como aprendiste
• como un tipo especial de multiplicación de matrices.

En el último caso, el resultado de hecho es una matriz de tamaño $(1\times 1)$, y como los comentarios ya indicaron, es simplemente una convención llamar a esto un escalar, ya que "la única diferencia son los corchetes". Por supuesto, cuando ves tu resultado como una matriz, solo puedes multiplicarlo por matrices de tamaño $(1\times m)$. Pero aquí está la clave: el espacio de matrices de tamaño $(1\times 1)$ es (para todos los propósitos prácticos) equivalente al espacio de escalares. Esto significa que existe un mapeo lineal biyectivo de $K$ a $K^{1\times1}$, incluso un isomorfismo de álgebra. Por lo tanto, para usar el resultado de manera más general, nos permitimos interpretarlo como un escalar. Además, a menudo usas el resultado de un producto punto solo para multiplicarlo con vectores. Y los vectores no están tan lejos de las matrices de tamaño $(1\times m)$ donde de todos modos puedes usar tus matrices de tamaño $(1\times1)$.

Answer 5

Un producto punto no es realmente un escalar, pero se comporta de la misma manera. En matemáticas llamamos a eso un ISOMORFISMO. Para cada resultado de producto punto, hay un número real correspondiente que se obtiene simplemente eliminando los corchetes. Todas las operaciones que haces con la matriz 1x1 corresponden a las mismas operaciones hechas con un número real. La multiplicación de una matriz por una matriz 1x1 se define como la multiplicación por el escalar correspondiente.

Te recomiendo que busques "isomorfismo" en un diccionario de matemáticas. Para hacerlo, es posible que necesites repasar tus habilidades en el idioma alemán.