Una pregunta sobre diferenciar las ecuaciones que son imposibles de resolver por una variable

Question

Yo pensaba que tenía una buena idea sobre por qué/cómo implícita diferenciación de las obras hasta que leí el siguiente paso en mi libro de Cálculo:

Además, implícita diferenciación funciona tan fácilmente de las ecuaciones tales como $$x^5+5x^4y^2+3xy^3+y^5=1$$ que en realidad son imposibles de resolver para $y$ en términos de $x$

Mi problema es el siguiente:

La forma en que podemos diferenciar, por ejemplo, $xy=1$ es mediante la diferenciación de la ecuación general a través de con respecto a $x$ y el tratamiento de la $y$ como una función de la $x$. Pero (y, al menos, que es como yo lo veo) sólo podemos tratar a $y$ $f(x)$ debido a que la ecuación que determina el $y$ como una función de la $x$ en una relación que puede ben escrito expliclity (en este caso, $y=\frac{1}{x}$). Si tenemos una ecuación tal como el citado, en el que simplemente no se puede resolver por $y$, ¿eso no significa que $y$ es no una función de $x$? En tal caso, no tratarlo como tal no es válida mover?

Espero me he hecho entender. Cualquier aclaración será bienvenida. Gracias

Answer 1

En un nivel básico, creo que esta pregunta es realmente acerca de la diferencia entre decir que algo existe, por un lado, y ser capaz de escribir una fórmula para que en el otro. Es importante distinguir entre tres diferentes (pero estrechamente relacionadas) ideas:

1. Puede ser que la relación entre el $x$ $y$ no define $y$ como una función de la $x$ debido a que hay más de una $y$-valor asociado a un determinado $x$-valor. Para tomar un ejemplo simple, la ecuación de un círculo unitario ($x^2+y^2=1$) no se definen $y$ como una función de la $x$.
2. Sin embargo, incluso si $y$ no es a nivel mundial una función de $x$, no obstante, es posible que localmente (es decir, en la vecindad de un punto) no puede ser una función de $x$ que "coincida" con el gráfico de la relación, en un sentido preciso. Por ejemplo, el punto de $(0.6, -0.8)$ se encuentra en la mitad inferior del círculo unitario. y la función de $f(x) = -\sqrt{1-x^2}$ es una solución local para $y$ en términos de $x$ que incluye ese punto. El Teorema de la Función Implícita establece las condiciones bajo las cuales dicha función existe.
3. Por otro lado, incluso cuando el local de la función existe, puede ser imposible escribir una fórmula explícita para ello. Eso, creo, es lo que su libro de texto por "imposible de resolver". No es que la función no existe, sino que no hay ninguna manera de escribir una fórmula para la función.

Para profundizar sobre este último punto, considerar las definidas implícitamente relación $$ y^3 + 2^y = \cos(2\pi x^2) + x $$ Esta relación define implícitamente $y$ como una función de la $x$: elegir cualquier valor específico de $x$, decir $x=2$. A continuación, el lado derecho de la ecuación es $\cos(2\pi\cdot4) + 2 = 3$. La ecuación, entonces nos pide encontrar un valor de $y$ tal que $y^3 + 2^y = 3$. Tal $y$ está garantizado para existir, y de hecho es único, como se puede convencer a sí mismo de mirar la gráfica de la función $h(t) = t^3 + 2^t$ (es estrictamente creciente debido a que su derivada es siempre positiva, y su rango es de $(-\infty ,\infty)$ . Y no hay nada especial acerca de la elección de $x=2$ en este ejemplo, elegir cualquier valor de $x$, y hay un único, $y$ valor asociado a dicho valor de $x$ por la relación $ y^3 + 2^y = \cos(2\pi x^2) + x $. De hecho, se puede ver la gráfica de esta implícitamente una función definida a continuación.

Pero vaya por delante, tratar de encontrar una fórmula para calcular explícitamente $y$ en términos de $x$. Voy a esperar.

(Bueno, este es el punto donde alguien salta en los comentarios y dice: "Bueno, en realidad..." y pasa a explicar que se puede calcular explícitamente $y$ en términos de $x$ mediante la introducción de una función de Lambert o algo. Permítanme tratar de adelantarse a los que con el argumento de que una"solución" sólo los barridos de la implicitación debajo de la alfombra. En cualquier caso, se echa de menos el punto del ejemplo, que es que una relación puede definir implícitamente una función, incluso si la falta de una explícita fórmula para calcular una variable en términos de la otra.)

Por otro lado, consideran que esta estrechamente relacionada con ejemplo: $$ y^2 + 2^y = \cos(2\pi x^2) + x $$ (El único cambio es el exponente en la $y$ sobre el lado izquierdo.) Esta relación definitivamente si no se definen $y$ como una función de la $x$, como puede verse en el siguiente gráfico:

Podemos ver que para valores de $x$ hay dos diferentes $y$ valores que ambos satisfacen $ y^2 + 2^y = \cos(2\pi x^2) + x $, por lo que esta no es una función. Sin embargo, si elegimos un punto en la gráfica - $(2,1)$ es una práctica y hacer zoom en un barrio de ese punto, que localmente se parece a una función:

El poder de la diferencia implícita como una técnica que es precisamente la que nos permite encontrar un explícito de la fórmula para la pendiente de la recta tangente a en $(x,y)$, incluso cuando no podemos encontrar una fórmula explícita para $y$ en términos de $x$, e incluso cuando la "función" no es realmente una función en absoluto. (El trade-off es que el "explícito" de la fórmula para la pendiente se expresa en términos de variables, por lo que todavía hay algunos que acechan la implicitación en el problema).

Answer 2

Esa es una pregunta excelente.

Parte de la conclusión de la diferencia Implícita Teorema (quizás mejor conocido como el Teorema de la Función Implícita) es que la ecuación localmente define $y$ como una función de la $x$.

El teorema dice, a grandes rasgos, este. Supongamos que $(x,y)=(a,b)$ se encuentra en el conjunto solución, y supongamos además que la derivada parcial $\frac{\partial F}{\partial y}$ de la mano izquierda es distinto de cero en $(a,b)$. Entonces existe una bola abierta $B \subset \mathbb{R}^2$ de positivos radio de $\epsilon>0$ centrada en el punto de $(a,b)$, de tal manera que la intersección de la solución en conjunto con el balón $B$ es, de hecho, la gráfica de una función derivable $y=f(x)$, y además su derivado $\frac{dy}{dx}$ puede ser calculado usando el método que has aprendido en el cálculo.

Ahora usted puede preguntar: ¿cómo podemos encontrar una fórmula para $y=f(x)$?

Realmente no hay una respuesta allí. En general, usted no puede encontrar la fórmula, aunque si sigues a través de la prueba del teorema, a continuación, usted puede encontrar numéricos métodos de aproximación. Ese es el poder real de la diferencia Implícita Teorema, demostrando la existencia de una función derivable sin siquiera ser capaz de escribir una fórmula para ello.

Answer 3

Su ejemplo es utilizable, aunque mucho de lo que necesitábamos. Veamos un caso más sencillo:

$$y^2=x$$

Sobre la diferenciación, nos encontramos con

$$\frac{dy}{dx}=\frac1{2y}$$

Pero... ¿y si hemos resuelto para $y$ primero?

$$y=\pm\sqrt x$$

Luego diferenciadas?

$$\frac{dy}{dx}=\frac1{2(\pm\sqrt x)}=\frac1{2y}\color{green}\checkmark$$

Así que... lo que realmente sucedió? Bien, la idea básica es esta:

Es... una especie de posible resolver para $y$. Algebraicamente, esto no es siempre el caso, pero si echamos un vistazo a un gráfico:

Esto claramente no es una función! Que no paso la prueba de la línea vertical, así que ¿por qué nos tratan como a una función?

Bien, la respuesta es simple. Como se satisface algunas propiedades básicas, podemos dividir la función en dos casos: una positiva y una negativa de la función. Cada uno, diferenciable.

Ahora, echemos un vistazo a lo tuyo:

Mientras que no es bonita, que todavía puede ser roto en algunos semi-porta bien las funciones que son diferenciables. Mientras que no podemos resolver para estas funciones de forma explícita, se trata de funciones, y lo que los diferencia no es un problema importante.

Answer 4

Para tomar un rumbo diferente... vamos a olvidar por un momento que $x$ $y$ son dependientes. es decir, podemos considerar la función de dos variables

$$ f(x,y) = x^5+5x^4y^2+3xy^3+y^5 $$

Podemos diferenciar esta no hay problema;

$$ \mathrm{d}f(x,y) = (5 x^4 + 20 x^3 y^2 + 3 y^3) \mathrm{d} x + (10 x^4 y + 9 x y^2 + 5 y^4) \mathrm{d} y$$

He escrito esto en términos de diferenciales; en mi opinión, cuando se trabaja de manera algebraica, argumentos y cálculos en el cálculo vuelto mucho más sencilla cuando formulado en estos términos.

De todos modos, el punto es, esta relación se mantiene cuando restringimos a un subconjunto del plano, tales como la curva definida por la ecuación de $f(x,y) = 1$.

Cuando restringimos a la curva, $f(x,y)$ $1$ se convierten en la misma función y, por consiguiente, tienen el mismo diferencial. Es decir, cuando hacemos cumplir esta restricción, obtenemos

$$ \mathrm{d}f(x,y) = \mathrm{d} 1$$

y, en consecuencia,

$$ (5 x^4 + 20 x^3 y^2 + 3 y^3) \mathrm{d} x + (10 x^4 y + 9 x y^2 + 5 y^4) \mathrm{d} y = 0 $$

de modo que, cuando están sujetos a esta restricción, la relación entre los diferenciales es (cuando los dos denominadores son distintos de cero):

$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = - \frac{5 x^4 + 20 x^3 y^2 + 3 y^3}{10 x^4 y + 9 x y^2 + 5 y^4}$$

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Aviso de que en ninguna parte en el post anterior he incluso se considera el tratamiento de la $y$ como una función de $x$. A menudo, es simplemente no es útil pensar en esos términos, a pesar de cálculo es generalmente presentado de esa manera.

También, con base en los comentarios, debo resaltar que no se debe tratar este tipo de cálculo en términos de las derivadas parciales en lugar de en términos de las diferencias; derivadas parciales simplemente no funcionan de esta manera.

Answer 5

Se define una función tan pronto como se especifica una relación entre la variable independiente y la dependiente, tales como

$$y=x^2+1,\\xy=4,\\x^2-y^5-y=0.$$

Tehcnically hablando, en la mayoría de los una $y$ debe corresponder a un determinado $x$, por lo que la ecuación se dio no define a una función en sentido estricto. Pero esto puede ser eludido por la descomposición de la curva en varias ramas.

Si es posible o no para evaluar la $y$ en términos de $x$ no es tan relevante. Incluso si no hay una fórmula explícita, computación numérica sigue siendo posible. Pero la definición de una función des no requieren $y$ a ser computable, sólo que ser inequívocamente especificadas; si usted lo sepa, usted puede comprobar que se ajusta a la relación.