¿Cómo encontrar $\int|\cos x|\,dx$?

Question

¿Cómo encontrar forma cerrada $\int|\cos x|\,dx$ % real todo $x$?

Puede ser expresada como integral elíptica incompleta de segunda especie:

$$\int|\cos x|\,dx=\int\sqrt{1-1^2\sin^2x}\,dx=E(x,1)$$

Sin embargo, creo que existe la forma sin función especial, porque la integral definida puede ser computado usando funciones elementales sólo dividiéndolo en varias integrales.

Answer 1

Gracias @darya khosrotash por comentario y @UserX por respuesta parcial.

Exprerimenting, he encontrado el siguiente:

$$\int |\cos (x)| \, dx=\sin x\,\text{sgn}(\cos x)+2\left\lfloor\frac{x}{\pi}+\frac{1}{2}\right\rfloor+C$$

Función de suelo es necesaria para obtener resultados correctos cuando se utiliza esta primitiva en el cálculo de la integral definida como:

$$\int_0^{12\pi}|\cos (x)|\,dx=24$$

Sin parte de la planta obtenemos $0$ que es obviamente incorrecto.

Sin embargo, todavía no sé cómo demostrar que esto es correcto primitiva.

Answer 2

Denotar por $S$ el conjunto de los impares múltiplos de ${\pi\over2}$. Al$x\notin S$, entonces está bien definida $k\in{\mathbb Z}$ con $$x\in J_k:=\left]k\pi-{\pi\over2},\ k\pi+{\pi\over 2}\right[\ .$$ Para $x\in J_k$ deje $$\hat x:=x-k\pi\ .$$ A continuación,$|\hat x|<{\pi\over2}$, e $x-\hat x$ es constante en $J_k$.

La función $$F(x):=\cases{\sin\hat x+{2\over\pi}(x-\hat x)&$(x\noen S)$ \cr {2x\\pi}&$(x\in S)$\cr}$$ ha derivado $$F'(x)=\cos\hat x=|\cos x|\qquad(x\notin S)\ ,$$ y para cualquier $\xi\in S$ obtenemos $\lim_{x\to\xi} F'(x)=0$. Vamos a demostrar que $F$ es continua también en los puntos de $S$. Entonces, esto va a establecer definitivamente $F$ como una primitiva de la función $f(x):=|\cos x|$.

Deje $\xi=(2n+1){\pi\over2}\in S$. A continuación,$\sin\xi=(-1)^n$.

Al $x\to{\xi-}\>$ tenemos $\hat x=x-n\pi$ y por lo tanto $$F(x)=(-1)^n\sin x+{2\over\pi}(n\pi)\to(-1)^n\sin\xi+2n=1+2n=F(\xi)\qquad(x\to\xi-)\ .$$ Al $x\to\xi+$ tenemos $\hat x=x-(n+1)\pi$ y por lo tanto $$F(x)=(-1)^{n+1}\sin x+{2\over\pi}(n+1)\pi\to(-1)^{n+1}\sin\xi+2(n+1)=-1+2(n+1)=F(\xi)\qquad(x\to\xi+)\ .$$ Aquí está una foto de $F$:

Answer 3

Por la definición de la función valor absoluto: $$\left| f(x)\right| = \sqrt{f(x)^2}= \begin{cases} f(x) &\mbox{, } f(x)\geq0 \\ -f(x) & \mbox{, } f(x)<0 \end{casos} $$ Así que, naturalmente, $$\left| \cos x\right| = \begin{cases} \cos (x) &\mbox{, } 2n\pi - \frac{\pi}{2}\leq x \leq 2n\pi + \frac{\pi}{2} \\ -\cos(x) & \mbox{, } 2n\pi + \frac{\pi}{2} < x < 2n\pi + \frac{3\pi}{2} \end{casos} ,\text {donde }n \in \mathbb Z $$ Integrando con respecto a $x$, $$ \int{\left| \cos x\right|}\, \text{d}x = \begin{cases} \sin (x) + C&\mbox{, } \cos(x)\geq 0\\ -\sin(x) - C& \mbox{, } \cos(x) < 0 \end{casos} \text{, donde C es la constante de integración} $$

La declaración anterior es equivalente a $$\int \left| \cos(x) \right| \, \text{d}x = \sin(x)\cdot\text{sgn}(\cos x) + c$$

Es interesante notar que el gráfico de esto es un montón de integral símbolos:

Answer 4

Como Daria sugerido en los comentarios, simplemente multiplique el RHS por $\mathrm{sgn}(\cos x)$

Así $$\int |\cos x| \mathrm{d}x=\sin (x) \mathrm{sgn}(\cos x)+c$ $

Answer 5

Lo importante a destacar es la propiedad de la función valor absoluto, es decir $|x| = x\ \ \forall x \ge 0$ y $|x| = -x\ \ \forall x \le 0$
Así, para los valores de x donde $\cos x$ es no negativa, la integral es $\int \cos x\ \ dx = \sin x + c$.
Asimismo, para los valores de x donde $\cos x$ es negativa, la integral es $\int -\cos x\ \ dx = -\sin x + c$.
La combinación de las dos partes, $\int \cos x dx = \text{sgn}(\cos x) \sin x + c$, donde $\text{sgn(x)}$ es la Función signo.