Cómputo del límite: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left ( \cos1+\cos(\frac{1}{2})+\cos(\frac{1}{3}) +...+\cos (\frac{1}{n}) \right )$

Question

Me ayudan por favor a calcular este límite:

$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left ( \cos1+\cos(\frac{1}{2})+\cos(\frac{1}{3}) +...+\cos (\frac{1}{n}) \right )$

Gracias.

Answer 1

Define $$a_n:=\sum_{j=1}^{n}\cos\left(\frac{1}{j}\right)$$ and $$b_n:=n.$$ Then notice that $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\cos \left(\frac {1}{n+1}\right)=1,$$ and therefore by Stolz Cesaro Lemma also your limiti exists and it is equal to $1$.

Answer 2

Nosotros podemos muy bien exprimirlo $$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\cos (1)\times\cos (1/2)\times\cdots\times\cos(1/n)}\le\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{1}{k}\right)\le\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}\times n\cos(1/n)\right)$ $ $$1\le\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{1}{k}\right)\le1$ $ donde en el lado izquierdo combina AM-GM y el criterio de Cauchy-d ' Alembert.