En Apostol, Una Variable Cálculo de Volumen 1, sección 3.2, página 130, él da el ejemplo siguiente (aproximadamente parafraseado):
Deje $f(x) = \frac{1}{x^2}$ si $x \neq 0$, y deje $f(0) = 0$. Para demostrar rigurosamente que no hay ningún número real $A$ tal que $\lim_{x\to0^+} f(x)=A$, se puede argumentar de la siguiente manera: Supongamos que hay un $A$, decir $A>0$. Elegir un vecindario $N(A)$ de la longitud de la $1$.
En el intervalo de $0 < x < \frac{1}{A + 2}$,$f(x) = \frac{1}{x^2} > (A + 2)^2 > (A + 2)$, lo $f(x)$ no puede mentir en el barrio de $N(A)$. Por lo tanto, cada vecindario $N(0)$ contiene puntos de a $x > 0$ que $f(x)$ está fuera de $N(A)$, por lo que (3.3) es violado por la opción de $N(A)$. Por lo tanto $f$ no tiene ningún derecho-de la mano de límite en $0$.
Mientras yo intuitivamente entender por qué la función no tiene límite, estoy completamente perdido en su prueba. Lo que justifica lo de la mudanza de $f(x)$ se encuentra fuera de $N(A)$ para el vecindario $0 < x < \frac{1}{A+2}$ $f(x)$se encuentra fuera de cada barrio?
La manera en la que he estado pensando es traducir la prueba en términos de la $ε-δ$ definición. Por lo tanto, cuando dice: "en el intervalo de $0 < x < \frac{1}{A+2}$", está estableciendo $ε = \frac{1}{A+2}$, y, a continuación, mostrando que $f(x)$ se encuentra fuera de $|f(x) - A| < ε$$|x-0| < δ$. Pero, si vamos a demostrar que no hay límite, tenemos que mostrar que para algunos $ε$, no $δ$ obras. Él dice, "por Lo tanto, cada vecindario $N(0)$ contiene puntos de...", pero no veo cómo se puede pasar de "esta $δ$ no funciona" a "no $δ$ obras".
La mejor que se me ocurre es que o estoy cometiendo un error al pensar que la elección de $δ = \frac{1}{A+2}$, o que el particular $δ$ se supone que es un cajón de sastre. Es decir, si alguna de las $δ$ va a trabajar, esto se debe. Pero si ese es el caso, no veo por qué esto $δ$ tiene que ser el único que funciona.
Gracias de antemano.
