Cómo probar que $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)^{1/x}=g$ si $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x+1)}{f(x)}=g$

Question

$$ f: (0,\infty)$$ is bounded and$% $ $ f(x)>0 $Cómo probar que: Si $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x+1)}{f(x)} = g$ $, entonces $ de $$\lim_{x\to \infty} f(x)^{1/x} = g $

Recuerdo una prueba de manera similar una cadenas con desigualdad entre medias

Answer 1

Tal vez usted puede romper en estas: $$ \liminf \frac{f(x+1)}{f(x)} \le \liminf f(x)^{1/x} \le \limsup f(x)^{1/x} \le \limsup \frac{f(x+1)}{f(x)} $$

...añadido...

y luego, si no funciona, analizarla para obtener un contraejemplo.

Para $x>0$ escritura $x = n + t$$n \in \mathbb N$$0<t\le 1$. Por lo $t$ es la parte fraccionaria (pero no pueden ser cero). Definir $$ f(x) := t\cdot 2^{-x}. $$

$f(x)$

Calcular $$ \frac{f(x+1)}{f(x)} = \frac{t\cdot 2^{-(x+1)}}{t\cdot 2^{-x}} = \frac{1}{2} $$ así que, sin duda converge a $g:=1/2$. Pero afirman que $f(x)^{1/x}$ no converge a $1/2$.

$f(x)^{1/x}$

De hecho, dado cualquier $n \in \mathbb N$ hay $t_0\in (0,1)$ de modo que $t_0^{1/(n+1)} = 1/2$. Es decir,$t_0 = (1/2)^{n+1}$. Pero entonces, para cualquier $y$ hay $x = n+t_0 > y$ donde $$ f(x)^{1/x} = \left(t_0 \cdot 2^{-x}\right)^{1/x} = t_0^{1/x}\cdot 2^{-1} < t_0^{1/(n+1)}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} . $$

Answer 2

Esta prueba es incompleta...

$$\ln f(x)^{\frac{1}{x}}= \frac{\ln(f(x))}{x}$$

Entonces por Stolz Cezaro

$$\lim_x \ln f(x)^{\frac{1}{x}} = \lim_x \frac{\ln(f(x))}{x}=\lim_x \frac{\ln(f(x+1))-\ln(f(x))}{x+1-x}= \lim_x \ln (\frac{f(x+1)}{f(x)})$$

La cuestión es el hecho de que la igualdad

$$\lim_x \frac{\ln(f(x))}{x}=\lim_x \frac{\ln(f(x+1))-\ln(f(x))}{x+1-x}$$

tiene secuencias, no para continuo $x$, pero debería ser fácil de probar de la misma manera...