¿Esta propiedad caracteriza un espacio como Hausdorff?

Question

Como resultado de esta pregunta, he estado pensando acerca de la condición siguiente en un espacio topológico $Y$:

Para cada espacio topológico $X$, $E\subseteq X$, y continua mapas de $f,g\colon X\to Y$ si $E$ es denso en $X$, e $f$ $g$ está de acuerdo en $E$ (es decir, $f(e)=g(e)$ todos los $e\in E$),$f=g$.

Si $Y$ es Hausdorff, entonces $Y$ cumple esta condición. La pregunta es si a la inversa se tiene: si $Y$ satisface la condición anterior, habrá de ser necesariamente Hausdorff?

Si $Y$ no es, al menos,$T_1$, $Y$ no tiene la propiedad: si $u,v\in Y$ son tales que $u\neq v$ y cada abierto barrio de $u$ contiene $v$, luego deje $X$ ser el espacio de Sierpinski, $X=\{a,b\}$, $a\neq b$, con una topología $\tau=\{\emptyset,\{b\},X\}$, $E=\{b\}$, deje $f,g\colon X\to Y$ ser dado por $f(a)=f(b)=v$, y $g(a)=u$, $g(b)=v$. A continuación, tanto en $f$ $g$ son continuos, de acuerdo a la densa subconjunto $E$, pero son distintos.

Mi intento en una prueba de lo contrario se asume que el Axioma de Elección y se procedió de la siguiente manera: suponga $Y$ $T_1$ pero no $T_2$; deje $u$ $v$ ser testigos del hecho de que $Y$ no $T_2$, vamos a $\mathcal{U}\_s$ $\mathcal{V}\_t$ ser la colección de todos los nbds de $s$ que no contengan $t$, y abrir todos los nbds de $t$ que no contengan $s$, respectivamente. Construir una red con el conjunto de índices $\mathcal{U}\_s\times\mathcal{V}\_t$ (ordenado por $(U,V)\leq (U',V')$ si y sólo si $U'\subseteq U$$V'\subseteq V$) dejando $y_{(U,V)}$ ser un punto en $U\cap V$ (esto es donde AC viene). Deje $E=\{y_{(U,V)}\mid (U,V)\in\mathcal{U}\_s\times\mathcal{V}\_t\}$, y deje $X=E\cup\{s\}$. Dar $X$ la inducida por la topología; deje $f\colon X\to Y$ ser la inclusión de mapas, y deje $g\colon X\to Y$ ser el mapa que se asigna a $E$ a sí mismo de forma idéntica, pero los mapas $s$$t$.

El único problema es que yo no puedo demostrar que $g$ es continuo; la dificultad surge si puedo tomar un conjunto abierto $\mathcal{O}\in \mathcal{V}_t$; el inverso de la imagen en $g$ es igual a $((\mathcal{O}\cap X)-\{t\})\cup\{s\}$, y no he sido capaz de demostrar que esta se abra en $X$.

Así:

¿La condición por encima de caracterizar los espacios de Hausdorff?

Si no, te agradecería un contraejemplo. Si no caracterizar Hausdorff, entonces lo ideal sería como una forma de terminar mi prueba, pero si la prueba es unsalvageable (o nadie puede averiguar cómo acabar con ella), a continuación, cualquier prueba va a hacer.

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Añadido: cavar Un poco subido de esta pregunta planteada en el Problema de la Sección de la American Mathematical Monthly de vuelta en 1964 por Alan Weinstein. La solución por Sim Atador da un punto de prueba que no requiere que uno se considerar $T_1$ e no$T_1$ espacios por separado.

Answer 1

[Esta respuesta se mudó a partir de esta pregunta en Arturo consejos]

Creo que el siguiente va un largo camino para demostrar una converse:

Deje $(Y, T)$ ser cualquier T1 espacio topológico con al menos dos puntos y dejar a $a$ $b$ ser distintos puntos en $Y$.

Deje $X = Y\setminus\{b\}$. Deje $f: X \to Y$ ser la inclusión de $X$$Y$. Deje $g: X \to Y$ está de acuerdo con $f$$X\setminus\{a\}$$g(a) = b$.

Por último, definir la topología en $X$ a ser el más áspero de la topología que hace que tanto las $f$ $g$ continuo.

Con estos supuestos, resulta que $X\setminus\{a\}$ es denso en $X$ si y sólo si $a$ $b$ no dispone de distintos barrios en $Y$.

Para ver que esto es cierto, vamos a poner una base de la topología en $X$. Para hacer $f$ continuo sólo tenemos que tomar la topología de subespacio. Desde X es abierto en Y esto es $S_1 = \{ G \in T \mid b \notin G \}$. También realice $g$ continua tenemos que añadir el abierto de los barrios de $b$, $b$ reemplazado por $a$. Esto le da a $S_2 = \{ (H\setminus\{b\} \cup \{a\} \mid H \in T, b \in H \}$. Ahora $S_1 \cup S_2$ es una base de la topología en $X$. Desde $S_1$ $S_2$ ya son cerrados bajo intersección finita, y cada uno cubre $X$, podemos decir que $B = \{ G \cap H \mid G \in S_1, H \in S_2 \}$ es una base de la topología.

A continuación, (recordando que finita de conjuntos cerrados en Y) encontramos que las siguientes son equivalentes:

• $X\setminus\{a\}$ no es denso en $X$
• $\{a\}$ está abierto en $X$
• $\{a\} \in B$
• hay $G \in S_1, H \in S_2$ tal que $G \cap H = \{a\}$
• hay $G \in S_1, H \in S_2$ tal que $a \in G$ $G \cap (H\setminus\{a\}\cup\{b\}) = \oslash$
• $a$ $b$ tienen distintos barrios en $(Y, T)$.

Answer 2

He aquí un bosquejo de mi idea para demostrar que $g$ es continua:

1. Mostrar que $s$ $t$ son testigos de que $Y$ no $T_2$ fib cualquier finalmente no constante neto de la convergencia a la $s$ o $t$ converge a ambos $s$ $t$.
2. Observar que $g$ es continua en a $E$ (żpor qué?).
3. Mostrar que $g$ es continua en a $s$ mediante el uso de la red convergente definición de la siguiente manera: Vamos a $(x_\alpha)$ ser una red que converge a $s$. Nos hemos dividido en los casos de:
   1. $(x_\alpha)$ finalmente es constante. Aquí necesitamos usar ese $Y$$T_1$. Debido a esto, $x_\alpha$ finalmente es igual a $s$, lo $g(x_\alpha)$ finalmente es igual a $t$ y, por tanto,$g(x_\alpha) \to t = g(s)$.
   2. $(x_\alpha)$ no es, finalmente, constante y converge a $s$. Por la primera subresult, tenemos $g(x_\alpha) \to t = g(s)$.

(NB! Mi topología de la clase que se usa Munkres' "Topología", que fuera de un par de ejercicios nunca se menciona en las redes. Por lo que podría estar equivocado, y lleno de agujeros para llenar)

Me pasé un montón de tiempo tratando de averiguar algunas criminis $X$ superior a la que ocurrió, pero fue muy duro. Parece evidente, sin embargo que tiene que ser construido a partir de $Y$ de alguna manera. Algunas de mis ideas en juego a partir de $2^Y$, es decir, el conjunto de funciones de los indicadores en $Y$, dándole el producto de la topología y de la identificación con $\mathcal{P}(Y)$ y a partir de ahí se puede pasar a una topología en $E = \lbrace U \cap V \mid U \in \mathcal{U}_s, V \in \mathcal{V}_t \rbrace$, pero que de manera efectiva se reduce a lo que usted hizo. Ni siquiera evitar elección como usted todavía tiene que usar para definir $f$.

Otra idea que probé fue considerar únicamente el caso en que $Y$ es infinita y, a continuación, la construcción de algo utilizando la cofinite topología, pero que no filtra hacia fuera.