Prueba de la desigualdad $e^x-x>0$ para todos $x\in \Bbb R.$

Question

Demuestra que la siguiente desigualdad es cierta para todos los números reales $$e^x-x>0.$$

Answer 1

Sea $f(x)=e^x-x$ . Entonces, obviamente $f(x)>0$ para $x< 0$ . También tenemos que $$ f'(x)=e^x-1\geq 0,\quad x\geq 0 $$ así que $f$ aumenta en $[0,\infty)$ y porque $f(0)=1$ vemos que $f(x)\geq 1>0$ para $x> 0$ .

Answer 2

Primero si $e^x = x$ entonces $x > 0$ pero $(e^x)' > (x)'$ si $x > 0$ y así $e^x$ aumentan más rápido que $x$ . Por último, observe que $e^0 > 0$ .

Answer 3

Sea $f(x)=e^x-x$ . Lo tienes en $x=0$ , $f(0)=e^0-0=1$ . También tiene que $f'(x)=e^x-1$ . Desde $e^x$ es estrictamente creciente y puesto que $e^0=1$ tienes eso para todos $x>0$ , $f'(x)>0$ . Desde $f(0)=1>0$ y puesto que para $x>0$ la función es creciente, se deduce que $f(x)>0$ para todos $x>0$ .

Answer 4

La desigualdad es obviamente cierta para valores neqgativos de $x$ .

$e^0-0=1>0$ y $\frac{d(e^x-x)}{dx}=e^x-1\geq0$ . Así, $e^x-x$ aumenta en $[0,\infty)$ . Así, $\forall x>0[e^x-x>e^0-0=1>0]$

Answer 5

También puede consultar la serie taylor para $e^x$ cuando $x>0$