¿Cómo maximizar esta integral?

Question

Rudin me pidió que maximizara $$\int^{1}_{-1}x^{3}g(x)dx$$ bajo la restricción de que $$\int^{1}_{-1}g(x)=\int^{1}_{-1}xg(x)dx=\int^{1}_{-1}x^{2}g(x)dx=0$$

Este es claramente un problema de espacio de Hilbert que necesita usar relaciones ortogonales. He calculado $x^{3}$ bajo los coeficientes de $L^{2}$ producto interno y resulta $x^{3}=\frac{3}{5}x^{2}+c$ con $c$ siendo ortogonal a $\{1,x,x^{2}\}$ . Pero, ¿cómo ayuda esto a encontrar $g$ ?

Una cuestión relacionada que tampoco sé cómo resolver es encontrar el mínimo de $$\int^{\infty}_{0}|x^{3}-a-bx-cx^{2}|^{2}e^{-x}dx$$ Y no me queda claro cuál es el conjunto subyacente linealmente independiente - $\{1,x,x^{2},e^{-x/2}\}$ ?

Answer 1

Espero que pueda reconocer la segunda pregunta como una aplicación de lo que a veces se llama el "teorema de la mejor aproximación" o "teorema de la proyección ortogonal" en un espacio de Hilbert. Mostraré una aproximación, pero hay otras que la gente puede comentar.

Si $\{\varphi_i(x)\}$ forma una familia ortonormal completa en un intervalo $I$ con respecto a la función de peso $w(x)$ es decir, $$\langle \varphi_i,\varphi_j\rangle_w:=\int_I \varphi_i(x)\varphi_j(x)w(x)\,dx=\begin{cases} 0, &i\not=j,\\ 1, &i=j,\end{cases}$$ y queremos aproximar $f\in L^2_w(I)$ como $$f(x)\approx\sum_{i=1}^n c_i \varphi_i(x), \quad x\in I,$$ entonces la "mejor" opción para los coeficientes $c_i$ en el sentido de minimizar el peso de la $L^2$ norma del error, $$\left\|f(x)-\sum_{i=1}^n c_i \varphi_i(x)\right\|_{L^2_w(I)},$$ es simplemente $c_i=\langle f,\varphi_i\rangle_w$ , $i=1,\dots,n$ .

Para que esto se aplique a tu problema, el peso del producto interior es $e^{-x}$ , $I=[0,\infty)$ , $f(x)=x^3$ y queremos minimizar el peso de $L^2_w(I)$ error al utilizar la aproximación $$x^3\approx a+bx+cx^2=\sum_{i=0}^2 c_i L_i(x),$$ donde $L_i(x)$ denota el $i$ th Polinomio de Laguerre .

Desde $L_0(x)=1$ , $L_1(x)=1-x$ y $L_2(x)={1\over 2}(2-4x+x^2)$ , a partir del teorema de la mejor aproximación anterior, \begin {align} c_0&= \langle x^3,L_0 \rangle_w = \int_0 ^ \infty x^3 e^{-x}\N-, dx=6, \\ c_1&= \langle x^3,L_1 \rangle_w = \int_0 ^ \infty x^3(1-x)e^{-x}\,dx=-18, \\ c_2&= \langle x^3,L_2 \rangle_w = \int_0 ^ \infty x^3 \cdot {1 \over 2}(2-4x+x^2)e^{-x}\,dx=18, \end {align} lo que da como resultado $$a=c_0+c_1+c_2=6, \quad b=-c_1-2c_2=-18, \quad c={c_2\over 2}=9.$$

Por supuesto, si queremos dejar Mathematica hacer el trabajo por nosotros, puede:

pero ¿dónde está la diversión en eso? ;-)

Espero que eso ayude.