Galois explícita acción $X^3 - X -1$

Question

Siempre he sido frustrado con la forma indirecta de los debates de la Teoría de Galois se encuentran en los libros de texto de Álgebra. Incluso en bellas tratamientos tales como Millas de Reid.

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Hay buenos ejemplos en donde se puede dibujar el Galois de acción explícitamente como sustituciones??

Una posibilidad son los cyclotomic polinomios:

$$ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0 $$

Entonces para cualquier $1 \leq a < 5$ podemos hacer subsition $x \mapsto x^a$ e este polinomio es fijo.

Esto me da un poco de intuición de que el Galois acción debe comportarse algo como el operador exponencial y nos escriben a menudo $x \mapsto x^\sigma$ $\sigma \in \mathrm{Gal}[p(x)]$

La iteración de las raíces cuadradas es otro de los ejemplos como el de $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ y que debemos recuperar y explícito $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ acción. Incluso aquí no estoy seguro de que puedo conseguir la analogía con la función exponencial.

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¿Qué podemos hacer para el ejemplo de $f(x) = x^3 - x - 1$ que tomé de Keith Conrad [1]

El grupo de Galois es $S_3$. ¿Cómo podemos hacer que los conjugados $x$?

Tenemos dos ecuaciones para las raíces de las $x + a+b = 0$ $xab = 1$ que puedo volver a escribir:

$$ a + b = - x \hspace{0.25in}\text{and}\hspace{0.25in} ab = \frac{1}{x} = x^2 - 1$$

Entonces la ecuación cuadrática es $(z-a)(z-b) = z^2 + xz + ( x^2 - 1) = 0$ que es reducible en $\mathbb{Q}(x)$.

Con este resultado satisfactorio, lo que claramente sustituciones de lograr las transposiciones $S_3 = \langle (12), (13)\rangle$?

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No es totalmente claro lo que quiero decir por "explícito". La raya parece reproducir Teorema 2.6 en este @KCd la nota, excepto que me olvide de unirse a la raíz cuadrada del discriminante.

Desde $[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] = 3$, me gustaría calcular el Galois acción como una matriz en la base $\{1, x, x^2\}$.

¿Cómo se escribe el elemento que realiza (esperemos que escribí las raíces de $x^3 - x - 1$ correctamente): $$ x \mapsto x \hspace{0.25in}\text{and}\hspace{0.25in} z = \frac{-x + \sqrt{4-3x^2}}{2}\mapsto \frac{-x - \sqrt{4-3x^2}}{2}$$ y similares permutaciones?

Parece que $4 - 3 x^2$ debe ser un cuadrado perfecto en $\mathbb{Q}(x)$ desde que se ha definido como la división de campo.

Desde $x^3 - x - 1$ divisiones en el 6º grado de extensión de la $\mathbb{Q}(x, \sqrt{-23})$ cómo calcular la acción del grupo de Galois $S_3$ sobre la base $\{ 1, x, x^2 \} \times \{ 1, \sqrt{-23}\}$ $6 \times 6$ matriz con entradas en $\mathbb{Q}$?

Answer 1

Juan, en cyclotomic extensiones de $\mathbf Q$ el grupo de Galois actúa como un mapa de poder sólo en las raíces de la unidad, no en general, así que no pienses en el grupo de Galois como "exponencial." Para la comparación, el complejo de la conjugación es un elemento de ${\rm Gal}(\mathbf C/\mathbf R)$ es el que actúa en $i$ mediante el envío a $-i$, pero eso no significa que el grupo de Galois es la negación de todos los de $\mathbf C$; la negación no es una operación de multiplicación en el carácter $0$.

Usted está pidiendo una fórmula para los conjugados de un polinomio cúbico, cuando conoces a una raíz, usando una función racional en la que la raíz con coeficientes en $\mathbf Q$. Pero el problema con su ejemplo de $x^3 - x - 1$ es que el adjunto de la raíz a $\mathbf Q$ no le dan los otros dos. Si $r$ es una raíz del polinomio, entonces el campo de $\mathbf Q(r)$ no contienen cualquiera de las otras raíces. En efecto, si para la concreción dejamos $r \approx 1.3247$ ser la única raíz real, a continuación, $x^3 - x - 1 = (x-r)(x^2 + rx + r^2-1)$ y el discriminante de el segundo factor es $4-3r^2 \approx -1.26$, por lo que no tiene raíces en $\mathbf R$, y mucho menos en la $\mathbf Q(r)$. Para que su sueño de la función racional fórmulas es imposible. Si están contentos con las fórmulas para el grupo de Galois como permutaciones de las raíces, entonces este ejemplo tiene un grupo de Galois de la orden de $6$ que es isomorfo a $S_3$, así que la respuesta es: todas las 6 permutaciones de las tres raíces se extienden a los automorfismos de la división de campo de más de $\mathbf Q$.

Lo mismo ocurre en cualquier tiempo la división de campo de un polinomio no es generado por una raíz del polinomio: habrá raíces que no tienen racional fórmulas en términos de una raíz. Su ejemplo de cyclotomic extensiones es engañoso en este sentido, ya que hay junto a un único primitivo $n$th raíz de la unidad no dan todos los otros $n$th raíces de la unidad como sus facultades. Así no es cómo funciona la vida en general.

Galois mismo nunca sugirió que su teoría se supone que para ser fácilmente computable. Él escribió: "Si ahora me puede dar una ecuación que usted ha elegido a voluntad, y sobre la cual usted desea saber si es o no es soluble por radicales, no puedo hacer más que indicar los medios para responder a tu pregunta, sin querer cobrar yo, o cualquier otra persona con la que hacerlo. En una palabra, los cálculos no son prácticos."

Si quieres ver algunos ejemplos de grupos de Galois escrito como grupos de permutaciones, mira aquí.

Answer 2

Que $\theta = \sqrt{-23}$ y que $K = \mathbf{Q}(x,\theta)$. Uno puede describir la acción de $S_3$ $K$ como sigue. El elemento $\sigma = (123) \in S_3$ $\theta$ de fija y envía $x$ a

$$ \frac{1}{23} \left (2 \theta + \left (\frac {-23 + 9 \theta}{2} \right) x - 3 \theta x ^ 2\right). $$

Aquí la acción de $S_3$ se determina ordenando las raíces como $(x, \sigma x, \sigma^2 x)$. Con esta opción, el elemento $\tau = (23)$ $x$ de fija y envía $\theta$ $- \theta$.

Answer 3

Definir el campo de división como $\mathbb{Q}[X,Z]/(X^3-X-1,Z^2+XZ+X^2-1)$

Las tres raíces de su ecuación en el campo división son $x,z$ y $-z-x$. Ahora cualquier elemento $ \sigma \in S_3$ sabes cómo construir un automorphism de campo: la imagen de $x$ tiene que ser o $x$, $z$ o $(-x-z)$ dependiendo del valor de la imagen de $\sigma(1)$ y $z$ tiene que ser o $x$, $z$ o $(-x-z)$según el valor de % de $\sigma(2)$.

así por ejemplo $(12)$ $x$y $z$ y $(13)$ enviar $x$ $-x-z$ de intercambio y preservar $z$.