Personalmente, vengo del camino opuesto al tuyo: Empecé como físico teórico y salté recientemente a las matemáticas de posgrado. La relatividad general es el mejor lugar para que un geómetra empiece a explorar las aplicaciones físicas de teorías abstractas como la (pseudo)geometría de Riemann, así que no te desanimes si te encuentras con cosas "aparentemente feas" o poco interesantes como el "electromagnetismo". La física no se parece tanto a las matemáticas en el sentido de que en estas últimas puedes permanecer más o menos aislado dentro de un campo muy estrecho sin tener que preocuparte por lo que ocurre en otros lugares; la física teórica busca las estructuras matemáticas de la Naturaleza, y ella es una sola realidad interrelacionada. De hecho, fue una comprensión correcta de la electrodinámica dentro de la mecánica clásica lo que llevó a Einstein a desarrollar la relatividad especial, y un intento de formular la gravedad a la manera de una teoría de campo como el electromagnetismo lo que le llevó a la relatividad general, así que realmente creo que no deberías evitar de ninguna manera la electrodinámica, al menos en sus conceptos y ecuaciones de campo elementales (¡que pueden fundirse muy bien en un par de ecuaciones diferenciales de 2 formas!) Por otra parte, el primer ejemplo típico del "resto de la física" que se acopla a la gravedad es el electromagnetismo, ya sea como actor (por ejemplo, la luz desviada que se propaga en el espaciotiempo curvado) o como fuente (es decir, la densidad de energía electromagnética que es en sí misma la fuente de la curvatura del espaciotiempo).
Si has hecho un curso estándar de geometría diferencial/riemanniana estás más que preparado para adentrarte en la relatividad general en todo su esplendor. Es muy importante, viniendo de una formación matemática, elegir cuidadosamente qué títulos y referencias consultar para evitar perder el tiempo y los esfuerzos tratando de dar sentido a los muchos tratamientos informales prosaicos orientados a la mayoría de los físicos no rigurosos. Aquí tienes una buena lista de referencias por orden de dificultad/sofisticación:
-
Lambourne, R.J.A. - Relatividad, Gravitación y Cosmología .
Se trata de un libro de texto introductorio elemental, ideal para el autoaprendizaje y con una visión amable que hace que su lectura sea divertida (la buena física y las matemáticas no tienen por qué ser tan áridas siempre). Es una buena primera lectura para cualquiera de los temas del siguiente título.
-
Carroll, Sean M. - El espacio-tiempo y la geometría: Una introducción a la relatividad general .
Este libro es una excelente primera introducción, y creció a partir de un conjunto de notas disponible de forma gratuita.
-
Misner, C.; Thorne, K.S.; Wheeler, J.A. - GRAVITACIÓN .
El título lo dice todo, ha sido la biblia estándar de la relatividad general desde los años 70, mil páginas de física, digresiones y antecedentes matemáticos geométricos explicados excelentemente.
-
Straumann, N. - Relatividad general .
Se ha reeditado con correcciones, añadidos y una nueva maquetación. Es uno de mis libros favoritos porque desarrolla (ahora en largos apéndices) los requisitos geoméricos y matemáticos en detalle y procede con la teoría a fondo con mucho rigor, dando muchas aplicaciones en astrofísica. Complemento perfecto para el de Wald. Además de la aproximación tradicional de la curvatura de Riemann, explica en detalle la formulación exterior (de Cartan), más adecuada para la comparación con otras teorías gauge (y para la gravedad cuántica) y para gente entrenada en conexiones covariantes sobre haces principales.
-
Plebanski, J.; Krasinski, A. - Introducción a la relatividad general y a la cosmología .
Un libro nuevo y especial, pero perfectamente adecuado para cualquiera que quiera aprender relatividad general con vistas a la gravedad cuántica (sobre todo los enfoques canónicos, no perturbadores). Desarrolla algunos aspectos esenciales que no se tratan en los libros de texto más antiguos. Bastante riguroso y formal, pero con muchas aplicaciones en cosmología (de ahí que sea un gran complemento del de Straumann).
-
Wald, Robert M. - Relatividad general .
Se trata de la introducción matemática estándar de posgrado, que incluye temas avanzados como la estructura de causalidad.
-
Hawking, S.; Ellis, G. - La estructura a gran escala del espacio-tiempo .
La referencia sobre la relatividad matemática donde se demostró por primera vez la mayor parte de las investigaciones de Hawking y Penrose.
-
De Felice, F.; Clarke. C. - Relatividad en Múltiples Curvas .
Se trata de un libro muy bonito desde un punto de vista puramente matemático avanzado, que trata los aspectos más técnicos del formalismo del espacio-tiempo.
Después de todo eso, hay muchos otros títulos muy especializados, como de Felice/Bini sobre las mediciones clásicas en el espacio-tiempo (muy importante para dar sentido a lo que se puede "decir" y "medir" en la relatividad general), Choquet-Bruhat sobre las matemáticas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein, Griffiths/Podolsky sobre las soluciones exactas del espacio-tiempo... etc. A pesar de lo que dirían muchos físicos (e incluso matemáticos), en mi humilde opinión En este sentido, te recomiendo que evites referencias antiguas y famosas como "Gravitation and Cosmology" de Weinberg, que desarrollan la relatividad general de una manera puramente no geométrica al estilo de un teórico del campo cuántico, es decir, tratando la gravedad como un campo de espín 2, con lo que se pierde la mayor parte del punto (¡invarianza de difeomorfismo!) y la maquinaria matemática moderna que has aprendido en geometría diferencial. Este enfoque es muy útil para las aproximaciones de perturbación, las consecuencias post-newtonianas y los intentos de cuantificación, Sin embargo, yo diría que ese enfoque puede ser un callejón sin salida conceptual a pesar de su utilidad computacional, ya que parte explícitamente de la comprensión original de la teoría por parte de Einstein (véase más adelante el libro de Rovelli y su énfasis en la comprensión del significado profundo de la relatividad general). Todas las buenas aplicaciones demostradas en el libro de Weinberg se incluyen ahora en libros como el de Straumann y Plebanski, pero con un enfoque moderno y un sabor matemático, por lo que no se pierde nada. Y si todavía quieres aprender también la versión de la teoría de campos, te recomendaría en su lugar libros de introducción a las supercuerdas y la supergravedad (ver el vol. 2 del par de abajo) y sobre todo el clásico
- Feynman, R.P. - Conferencias Feynman sobre Gravitación .
Si quieres profundizar en el conocimiento de la geometría diferencial (no sólo para la relatividad general, sino para cualquier otra teoría gauge), una nueva introducción muy bonita y barata es:
- Sternberg, S. - La curvatura en las matemáticas y la física .
Acaban de publicarse dos nuevos volúmenes centrados en el desarrollo geométrico de la gravedad, orientados a la introducción de la supergravedad y más allá. Si eso es lo que le interesa, debería consultarlos.
-
Giuseppe Frè, P. - La gravedad, un curso geométrico. Vol. 1: Desarrollo de la teoría y aplicaciones físicas básicas.
-
Giuseppe Frè, P. - La gravedad, un curso geométrico. Vol. 2: Agujeros negros, cosmología e introducción a la supergravedad.
Por último, pero no menos importante, el siguiente libro es una obra maestra de exposición y aclaración. Aunque su intención es introducir la gravedad cuántica de bucles en la segunda mitad del libro, la primera mitad es un tratamiento conceptualmente profundo, matemáticamente riguroso, de la estructura de la mecánica clásica y cuántica, y de la relatividad general. No puedo enfatizar lo suficiente CUÁNTO he aprendido de las discusiones sobre el significado de la mecánica, el relativismo, la naturaleza del espacio y el tiempo, la relatividad general y su independencia de fondo... Por todos los medios, animo a cualquiera a estudiar en detalle esas secciones del libro y abrir su mente a cómo la física fue pensamiento en la edad de oro (es decir, prestar más atención a las ideas filosóficas, el significado conceptual y la adecuación empírica).
- Rovelli, Carlo - La gravedad cuántica .
En particular, uno se sorprende mucho cuando descubre que en ninguna otra parte, en ningún otro libro de texto de física, está El "argumento del agujero" de Einstein mencionado y el significado de las coordenadas del espacio-tiempo (¡a pesar de lo que algunos dirían, el argumento de los agujeros no se puede hacer en los enfoques de la teoría de campo de la gravedad y sus tratamientos perturbativos! por eso pierden gran parte del contenido conceptual: la variedad diferencial subyacente no tiene significado físico, sólo las correlaciones de los observables definen lo que son realmente el espacio y el tiempo medibles). El libro de Straumann arriba mencionado es el único con una breve mención a una definición rigurosa de invariancia y covariancia; ¡sólo esto lo convierte en un libro superior! La covarianza general y el significado de las coordenadas del espaciotiempo son la piedra angular de la relatividad general, y su comprensión es lo que mantuvo a Einstein confundido y atascado desde 1912 hasta 1915 en la búsqueda de las ecuaciones de campo finales. La mayoría de los libros de física se centran en la mera física de "cállate y calcula" y no en el significado conceptual que la filosofía natural de la ciencia siempre acompañó en el pasado. Este libro le enseñará eso y mucho más. Concretamente le enseñará el significado de la independencia de fondo, que en términos matemáticos es la invariancia de difeomorfismo de la teoría. La relatividad general tiene tal simetría y eso la hace más especial que los otros campos (por eso recomendé evitar ciertos enfoques y libros que rompen explícitamente su simetría mediante aproximaciones perturbativas), haciendo de la física el estudio de los grados de libertad interdependientes relacionales; en palabras del propio Einstein (de su artículo original de 1916):
... el requisito de la covarianza general quita al espacio y al tiempo el último remanente de objetividad física...
(Los intentos de conseguir una teoría de la gravedad cuántica probablemente fracasan por eso, por tratar la gravedad como si fuera otra fuerza que vive en el espacio-tiempo... toda la comunidad de la física de partículas parece haber olvidado a veces la lección conceptual que hay que aprender de la relatividad general y de la mecánica cuántica: ¡ambas son teorías relacionales! todo eso se puede encontrar en el libro de Rovelli, y en sus artículos disponibles en el arXiv; todo esto y más es la razón por la que decidí cambiar de la física teórica a las matemáticas; pido disculpas por molestarle a usted o a cualquier otra persona con estos comentarios y recomendaciones personales, pero son relevantes si uno quiere entender cuál puede ser el problema después de 60 años de intentar sin éxito cuantificar la gravedad).
Espero que todo esto te sirva de algo. Buena suerte.
