Si $A^2 \succ B^2$ entonces necesariamente $A \succ B$

Question

Recuerdo haber leído en alguna parte sobre las siguientes propiedades de la matriz definitiva no negativa. Pero no sé cómo probarlo ahora.

Deje que $A$ y $B$ ser dos matrices definitivas no negativas. Si $A^2 \succ B^2$ entonces se deduce necesariamente que $A \succ B$ pero $A \succ B$ no conduce necesariamente a $A^2 \succ B^2$ .

¿Cómo puedes probarlo? ¡Gracias!

Answer 1

Si $A^2 \succ B^2$ Entonces $ \rho (A^{-1}B^2A^{-1})<1$ . Desde $A^{-1}B^2A^{-1}$ es positivo semidefinido, $\|BA^{-1}x\|_2^2=x^HA^{-1}BBA^{-1}x \le\rho (A^{-1}B^2A^{-1})<1$ para cualquier vector unitario $x$ . Por lo tanto $ \rho (BA^{-1})<1$ y $A \succ B$ .

Cuando $A \succ B$ no es necesariamente cierto que $A^2 \succ B^2$ como se ilustra en el siguiente contraejemplo, donde $ \epsilon >0$ es pequeño: \begin {alineado*} A&= \pmatrix {2+ \epsilon &1 \\ 1&3}, \\ B&= \pmatrix {1 \\ &2}, \\ A-B&= \pmatrix {1+ \epsilon &1 \\ 1&1} \succ0 , \\ A^2&= \pmatrix {(2+ \epsilon )^2+1&5+ \epsilon\\ 5+ \epsilon &10}, \\ B^2&= \pmatrix {1 \\ &4}, \\ A^2-B^2&= \pmatrix {(2+ \epsilon )^2&5+ \epsilon\\ 5+ \epsilon &6} \not\succ0. \end {alineado*}

Answer 2

Me llamo Can Nguyen. Vengo de Vietnam y espero que mi opinión pueda ayudarles.