Supongamos $\{a_n\}_{n\ge 1}$ ser una secuencia de números no negativos tales que $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \to \infty$. Supongamos que existe una función de distribución de $F$ (no decreciente, a la derecha continua, $\displaystyle \lim_{x\to-\infty} F(x)=0$$\displaystyle \lim_{x\to \infty} F(x)=1$) $F(0)=0$ tal que para todos los $x\in \mathbb{R}$ $$\lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{i=1}^n \mathbb{I}_{(a_i \le x)}=F(x)$$ Entonces, ¿es verdad que $$\frac{\sum\limits_{i=1}^n a_i^2}{\left(\sum\limits_{i=1}^n a_i\right)^2} \to 0 \ \ ?$$
Yo:
Tenga en cuenta que sin la distribución de la condición el límite anterior no es cierto. Simplemente tome $a_n$ que domina $a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}$, por ejemplo, podemos tomar $a_n=n^{2n}$. A continuación, $a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}= \mathcal{O}(n^{2n-1})$ y el límite va a 1.
Supongamos que definimos $x_{n}^2=\sum\limits_{i=1}^n a_i^2$$y_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i$. y deje $z_n^2=\frac{x_n^2}{y_n^2}$. Entonces $$\begin{aligned} z_{n+1}^2 & =\frac{x_{n}^2+a_{n+1}^2}{(y_n+a_{n+1})^2} \\ & = \frac{z_n^2+t_n^2}{(1+t_n)^2}\end{aligned}$$ donde $t_n:= \frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$.
Estoy atrapado aquí. Cualquier ayuda/sugerencia?
