Me llegó el problema de encontrar tres cubos perfectos que son números consecutivos de una progresión aritmética, yo.e: $a^3-b^3=b^3-c^3$ donde $a>b>c$ (para evitar trivial soluciones). Claramente es equivalente a resolver $x^3+y^3=2$ sobre los racionales.
Esto es algo que he intentado:
Considere la curva $x^3+y^3=2$ in te avión. Miré para un racional parametrisation de ella. Ok, tal vez buscando un racional parametrisation no dar todas las soluciones (no estoy seguro acerca de eso), pero es un comienzo y vamos a ver lo que nos lleva a.
Traté de considerar los puntos de intersección con la línea de $y=tx+(1-t)$, ya que ahora $(1,1)$ es un punto. (Y yo había visto a un enfoque similar para encontrar soluciones a $x^2+y^2=1$.)
Resolver el sistema para a $x$ me dio (después de factorizar la superfluo factor de $x-1$) una ecuación cuadrática en $x$ con discriminante $-3(t+1)^4+36t^2-4$. Así que basta de averiguar si este es el cuadrado de un racional.
Vamos a escribir como $-3(p+q)^4+36p^2q^2-4q^2=d^2$ donde $p=qt$.
Y aquí es donde no se puede continuar. Cualquier procedimiento de este método u otros métodos son bienvenidos.
P. S: Esto no es la tarea, es sólo una cuestión de curiosidad.
