Resolución de $x^{x^x}=c$ con Lambert ' W función

Question

Podemos resolver la ecuación de $x^x=c$ por el uso de la función W de Lambert, pero cómo solucionamos $x^{x^x}=c$,

Answer 1

Tomar una parte de Yves Daoust la respuesta, a ver que

$$x^{x^{x+1}}=(x^x)^{x^x}=\left(x^{x^x}\right)^x=c$$

puede ser resuelto con dos aplicaciones de la función W de Lambert.

Pero, por supuesto, usted desea encontrar $x^{x^x}=c$.

Supongamos que usted sabe $x\approx d$.

Esto significa

$$d^{d^d}\approx c$$

$$\implies d^{d^{d+1}}\approx c^d$$

O,

$$x_{n+1}^{x_{n+1}^{x_{n+1}+1}}=c^{x_n}$$

$$\large x_{n+1}=e^{W\left[W(x_n\ln(c))\right]}$$

Por lo tanto, si usted tiene una calculadora a la mano, usted puede hacer algo a lo largo de estas líneas:

$$x_0=d$$

$$x_1=e^{W\left[W(d\ln(c))\right]}$$

$$x_2=e^{W\left[W(x_1\ln(c))\right]}$$

$$etc.$$

Prueba con $c=500$$x_0=2.3$:

$$\begin{align} x_0 & =\overline{2.3} \\ x_1 & =\overline{2.33}3760625 \\ x_2 & =\overline{2.339}000432 \\ x_3 & =\overline{2.3398}0707 \\ x_4 & =\overline{2.3399}31091 \\ x_5 & =\overline{2.33995}0156 \\ x_6 & =\overline{2.339953}086 \\ x_7 & =\overline{2.3399535}36 \\ \end{align}$$

Ver que $x_7^{x_7^{x_7}}=499.9994005$. Los cálculos pueden ser un poco porque las hice con mi calculadora científica, aunque, pero parece lo suficientemente preciso. También parece que se aproxima a un dígito más en un momento correctamente, lo que puede parecer lento, pero dado el tamaño de los números que estamos tratando de uso, un par de dígitos hacer bien las diferencias. (compare $x=2.3$ $x=2.4$ y ver lo lejos que están fuera de $c=500$.)

También tenga en cuenta que para la mayor parte, la solución será menor que $4$ si $c$ incluso encaja en su calculadora.

Answer 2

No es una solución, pero usted puede resolver una ecuación similar con una doble aplicación de $W$:

$$x^{x^{x+1}}=c,$$

porque

$$x^{x^{x+1}}=(x^x)^{x^x}.$$

Por desgracia, $x^{x^{x+1}}$ está lejos de $x^{x^x}$ es $(x^{x^x})^x$.

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Para una solución numérica, recomiendo Newton, con las iteraciones

$$x\leftarrow x-\frac{x\ln x+\ln \ln x-\ln\ln c}{\ln x+1-\dfrac1{x\ln x}}.$$

Para el caso de $x^{x^x}=500$ con el inicio de la aproximación $2.3$, en tres pasos,

$$\begin{align}2.3&\to 286.234283705\\ 2.33993454643&\to 499.860587996\\ 2.33995361844&\to 499.999999977\\ 2.33995361844&\to 500.0\end{align}$$

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Un valor inicial puede ser estimado empíricamente al caer el segundo término en

$$x\ln x+\ln\ln x=\ln\ln c.$$

Luego de problemas con Lambert y el uso de uno de sus asintótica expresiones obtenemos

$$x\approx\frac{\ln\ln c}{\ln\ln\ln c}(\ln\ln\ln c)^{1/k \ln\ln\ln c}.$$

Por ensayo y error, hemos encontrado $k=4$ a dar buenos resultados (por ejemplo,$500\to2.457$) para los valores de $c$ en el rango de precisión doble de las carrozas. Vale la pena hacer notar que debido a algún exceso, con esta base de partida, la fórmula de Newton iteraciones fallar en la evaluación de las $\ln\ln x$$c<33$. Los valores más pequeños requieren un método diferente.

Answer 3

Una posible solución puede ser extrapolados a partir de mi primera pregunta en este sitio (encontrado aquí), donde explico que la función $$x^{x^x} = \,^3x = x + \sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=0}^{n-2}\bigg(\frac{S_{n-1}^{k+1}\log^{k+n}(x)x^n}{\Gamma(n)}\bigg) = x + \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\bigg(\frac{S_{n+1}^{k+1}\log^{k+n+2}(x)x^{n+2}}{\Gamma(n+2)}\bigg)$ $
Donde $S_n^k$ son los números de Stirling de segunda especie. Esto podría utilizarse potencialmente para expresar una solución en términos de una serie infinita que luego podría calcularse con precisión arbitraria.