Es un hecho bien conocido que si $X$ es una curva proyectiva y $p \in X$ un punto suave, entonces cualquier racional mapa $X \to Y$, $Y$ una variedad proyectiva, se extiende a un racional mapa de $X \to Y$ regular en $p$. Esta es la proposición I. 6.8 en Hartshorne (en el caso de $X$ un resumen de no-singular de la curva), por ejemplo. Sin embargo, las dos pruebas, he visto tanto asumir que es suficiente con considerar el caso de $Y = \mathbb{P}^n$. Como yo lo entiendo, esto es debido a que morfismos de variedades proyectivas son apropiados, y en particular el de la imagen es cerrado. Donde puedo encontrar una prueba de esto, en el caso de variedades? He encontrado una prueba aquí por Akhil Mathew, pero me perdí cuando empezó a hablar acerca del cambio de base.
Respuestas
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A) Si usted desea extender su racional mapa de $f: X\to Y$ definida fuera de $p$ través $p$, es cierto que se puede asssume que $Y=\mathbb P^n$ mediante la incorporación de $Y$ a $\mathbb P^n$ como un conjunto cerrado. Sin embargo, esto no tiene nada que ver con la integridad de $\mathbb P^n$, pero sigue a partir de la topología. De hecho, si $f$ envía $X\setminus \{p\}$ a $Y$, enviará el punto de $p$, en el cierre de $X\setminus \{p\}$, en el cierre de $f(X\setminus \{p\})$, por lo que, en particular, en $Y$.
B) Todavía integridad de $\mathbb P^n$ es un resultado fundamental que se demuestra aquí. Esta es una mano que sale de un curso impartido en 2009 por Mike Artin: no puedo pensar en nadie más competente que él, pero no sé si él escribió la nota a sí mismo o si fue trazada por un estudiante. De todos modos, aquí hay un enlace a todo el curso, con muchos folletos, apuntes y ejercicios.
C) Adición No sólo no necesitamos integridad de $\mathbb P^n$, pero la extensión resultado es bastante intuitivo. En el caso complejo, podemos decir que a nivel local en torno $p=0$ el racional mapa puede ser escrito $z\mapsto F(z)=(f_0(z):...:f_n(z))$ donde cada una de las $f_i(z)$ es idéntica a cero o meromorphic de la forma $f_i(z)=z^{n_i}u_i(z)$ algunos $i\in \mathbb Z$$u_i(0)\neq 0$. Si $n_0$ , dicen, es la más pequeña de las $n_i$s '( $n_0 \leq n_i$ ), a continuación, multiplicando todas las coordenadas homogéneas de $F(z)$ $f_0 ^{-1}(z)=z^{-n_0} u_0^{-1}(z)$ obtenemos $F(z)=(1:g_1(z):...:g_n(z))$ cuando la $g_i$'s son ahora cerca de holomorphic $0$, de modo que la conclusión de la siguiente manera: $F$ claramente puede ser extendido con regularidad a través de $p=0$.
En lo puramente algebraica caso nos adaptamos esta idea mediante la sustitución de $z$ por un uniformizing parámetro cerca de $p$, $u_i$'s por las unidades en $\mathcal O_p^\ast$ y los exponentes $n_i$ $z$ por las valoraciones de $f_i\in \mathcal O_p$, que es un discreto anillo de valoración gracias a la supuesta regularidad de $p$.
He escrito este esquema debido a los tecnicismos de algunas pruebas en la literatura podría ocultar los reales connaturalidad de esta extensión resultado.
Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Deje $X$ una reducida separados esquema finito de tipo más de $k$. Deje $X_0$ el conjunto de puntos cercanos de $X$. Por esta cuestión, $(X_0, \mathcal{O}_X|X_0)$ es una variedad en el sentido de Serre de la FAC.
Por el contrario vamos a $V$ ser una variedad de más de $k$ en Serre sentido. Por esta cuestión, existe un reducido separados esquema de $X$ finito de tipo más de $k$ tal que $V$ se identifica con $(X_0, \mathcal{O}_X|X_0)$. Tal $X$ es esencialmente único(es decir, todos ellos son $k$-isomorfos).
Deje $V$ ser una variedad proyectiva. Deje $W$ ser una variedad en Serre sentido. Deje $p\colon V\times W \rightarrow W$ ser el mapa de proyección. Vamos a probar que $p$ es un cerrado mapa. Existe un esquema proyectivo $X$ $k$ tal que $V$ es isomoprphic a $(X_0, \mathcal{O}_X|X_0)$. Similiarly existe un esquema de $Y$ $k$ tal que $W$ es isomoprphic a $(Y_0, \mathcal{O}_Y|Y_0)$. Deje $\pi\colon X\times_k Y \rightarrow Y$ ser la proyección. Desde $X$ es adecuada sobre $k$(Hartshorne, Teorema 4.9, Capítulo II, o el teorema de abajo), $\pi$ es un cerrado de morfismos. Desde $(X\times_k Y)_0 = X_0 \times Y_0$ como un conjunto, $p$ es un cerrado mapa por esta pregunta.
Deje $f\colon V \rightarrow W$ ser una de morfismos. Deje $\Gamma = \{(x, f(x)) \in V \times W|\ x \in V\}$. Deje $\Delta = \{(y, y) \in W \times W|\ y \in W\}$. Considerar el mapa de $f \times id_W\colon V\times W \rightarrow W \times W$. A continuación,$\Gamma = (f \times id_W)^{-1}(\Delta)$. Desde $\Delta$ es cerrado en $W\times W$, $\Gamma$ está cerrado en $V\times W$. Por lo tanto $f(V) = p(\Gamma)$ es cerrado en $W$. Desde cualquier subconjunto cerrado de $V$ es una variedad proyectiva, $f$ es un cerrado mapa como se desee.
Teorema de El esquema proyectivo $\mathbf{P}_{\mathbf{Z}}^n$ es adecuada sobre $\mathbf{Z}$.
Prueba(EGA II, teorema 5.5.3): Tenemos que mostrar que la proyección de $\mathbf{P}_{\mathbf{Z}}^n \times Y \rightarrow Y$ es un cerrado de morfismos para cualquier esquema de $Y$$\mathbf{Z}$. Ya que el problema es local en $Y$, podemos suponer que la $Y$ es afín. Deje $Y = Spec(A)$. A continuación,$\mathbf{P}_{\mathbf{Z}}^n \times Y = \mathbf{P}_A^n = Proj(A[X_0,\dots,X_n))$. Deje $Z$ ser un subconjunto cerrado de $Proj(A[X_0,\dots,X_n))$. A continuación, $Z$ es isomorfo a $Proj(A[X_0,\dots,X_n]/I)$ donde $I$ es homogénea ideal. Deje $S = A[X_0,\dots,X_n]/I$. Deje $f\colon Proj(S) \rightarrow Y$ ser la canónica homomorphism. Basta probar que $f(Proj(S))$ es cerrado en $Y$.
Deje $y \in Y$. $f^{-1}(y) = Proj(S)\times_Y Spec (k(y)) = Proj(S\otimes_A k(y))$. Por lo tanto $f^{-1}(y) = \emptyset$ si y sólo si $S_n\otimes_A k(y) = 0$ para todos lo suficientemente grande $n$.Desde $S_n$ $A$- módulo de finito tipo, $S_n\otimes_A \mathcal{O}_y$ $\mathcal{O}_y$- módulo de finito tipo. Por lo tanto $S_n\otimes_A k(y) = 0$ es equivalente a $S_n\otimes_A \mathcal{O}_y = 0$ por Nakayama del lexema. Esto es equivalente a que $\mathfrak{p}_y$ no contiene $\mathfrak{a}_n$ donde $\mathfrak{p}_y$ es el primer ideal correspondiente a $y$ $\mathfrak{a}_n$ es el destructor de $A$-módulo de $S_n$. Desde $S_n = S_{n}S_1$, $\mathfrak{a}_n \subset \mathfrak{a}_{n+1}$. Deje $\mathfrak{a} = \bigcup_n \mathfrak{a}_n$. A continuación,$f(Proj(S)) = V(\mathfrak{a})$. QED
