Intuición/motivación / por qué debería preocuparme por apoyo (definición de)

Question

Que $X$ ser un espacio métrico. Si $f: X \to \mathbb{R}$, el apoyo de $f$ es el cierre del set $\{x: f(x) \neq 0\}$.

¿Qué es la intuición/motivación / ¿por qué debería preocuparme por el apoyo (definición)?

Answer 1

El apoyo de una función puede ser de importancia en el estudio de la diferenciable colectores. Por ejemplo, Stokes teorema (una generalización de los teoremas de cálculo multivariable como el Verde del teorema) requiere que el diferencial de la forma que tiene soporte compacto.

Otro ejemplo de apoyo está en la definición de un golpe de la función, un ser infinitamente derivable la función con soporte compacto. Estos nos permiten hacer las particiones de la unidad, que nos permiten definir el valor de una integral sobre una superficie, incluso aunque los gráficos (mapas de la superficie del espacio Euclidiano, que definen la superficie) sólo están definidos localmente.

Answer 2

La respuesta por Florencia es suficiente, pero para proporcionar otra razón, por ejemplo,$C(\mathbb{R})$, por lo que el anillo de funciones continuas definidas en $\mathbb{R}$. Las funciones de soporte compacto forma ideal en este espacio. Esto es interesante porque proporciona un contraejemplo a la demanda:

"Dado un ideal maximal $I$ en $C(\mathbb{R})$, $I= \mathfrak{m}_p$ para algunos $p \in \mathbb{R}$ donde $\mathfrak{m}_p= \left\{ f \in C(\mathbb{R}): f(p)=0 \right\}$."

Así que esta afirmación no es cierta. Sin embargo, si añadimos la condición de que los residuos del campo de $I$$\mathbb{R}$, la demanda se convierte en verdad. Entonces esto plantea la pregunta: ¿cuál es el residuo de campo de $I$ si $I$ es el ideal maximal que contiene todas las funciones de soporte compacto? Hice esta pregunta hace un tiempo y, esencialmente, tiene la respuesta: "usted probablemente no será capaz de describir tal cosa." Creo que esto es muy interesante en el sentido de que podemos utilizar los ideales de funciones de soporte compacto para afirmar la existencia de los campos que probablemente aún no se puede describir!