Cómo probar $\left(\sum\cos{\frac{2k-1}{p}\pi}\right)\cdot\left(\sum\cos{\frac{2k-1}{p}\pi}\right)$

Question

Pregunta:vamos a $p$ ser un número primo impar,vamos a $A$ el conjunto de los (positivas y menos de $p$) residuos cuadráticos módulo $p$,e $B$ el conjunto de los (positivo y menos de $p$ quadraric no residuos modulo $p$,

si dejamos $$p=4t+1$$ demostrar o refutar $$\left(\sum_{1\le k\le 2t,(2k-1)\in A}\cos{\dfrac{2k-1}{p}\pi}\right)\cdot\left(\sum_{1\le k\le 2t,(2k-1)\in B}\cos{\dfrac{2k-1}{p}\pi}\right)=-\dfrac{t}{4}$$

Este problema es mi hallado,porque sé que probar esto siga

(1):$p=5,t=1,$ $$\left(\cos{\dfrac{\pi}{5}}\right)\cdot\left(\cos{\dfrac{3\pi}{5}}\right)=-\dfrac{1}{2}$$

(2):$p=13,t=3$ $$\left(\cos{\dfrac{3\pi}{13}}+\cos{\dfrac{9\pi}{13}}+\cos{\dfrac{\pi}{13}}\right) \cdot\left(\cos{\dfrac{7\pi}{13}}+\cos{\dfrac{11\pi}{13}}+\cos{\dfrac{5\pi}{13}}\right)= -\dfrac{3}{4}$$ y así sucesivamente,y yo uso el ordenador para tener esto:

tal vez esto es cierto,y Cómo demostrarlo? Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que $-1$ es un cuadrado de $\bmod\,p$ $$2k-1 \equiv 2\left(k+\frac{p-1}{2}\right) \equiv -2\left(-k+\frac{p+1}{2}\right)\mod p.$ $ Supongamos primero que $2$ es también un cuadrado de $\bmod\,p$ $k \in \{1,\ldots,(p-1)/2\}$ en lo que sigue. A continuación, los siguientes son equivalentes:

• $2k-1$ es un residuo cuadrático
• $k+(p-1)/2$ es un residuo cuadrático
• $-k+(p+1)/2$ es un residuo cuadrático

Deje $\zeta_n$ denotar la raíz de la unidad $\exp(2\pi\mathrm{i}/n)$. Entonces tenemos

$$\begin{eqnarray} \sum_{2k-1 \textrm{ square}}\cos\left(\frac{2k-1}{p}\pi\right)&=&\tfrac{1}{2}\sum_{2k - 1 \textrm{ square}}\left(\zeta_{2p}^{2k-1}+\zeta_{2p}^{-2k+1}\right)\\ &=&-\tfrac{1}{2}\sum_{2k-1 \textrm{ square}}\left(\zeta_{p}^{k+(p-1)/2}+\zeta_{p}^{-k+(p+1)/2}\right)\\ &=&-\tfrac{1}{2}\sum_{k \textrm{ square}}\zeta_{p}^k\\ &=&\frac{1-\sqrt{p}}{4} \end{eqnarray}$$

donde la última igualdad se sigue de la expresión explícita para una cuadratura de Gauss suma. Entonces $$\left(\sum_{2k-1 \textrm{ cuadrado}}\cos\left(\frac{2k-1}{p}\pi\right)\right) \left(\sum_{2k-1 \textrm{ no cuadrado}}\cos\left(\frac{2k-1}{p}\pi\right)\right) = \frac{1-\sqrt{p}}{4} \left(\frac{1}{2}-\frac{1-\sqrt{p}}{4}\right) = \frac{1-p}{16}. $$

En el caso de que $2$ no es un cuadrado $\bmod\,p$ puede ser demostrado de manera similar, pero ahora tienes que usar la equivalencia de:

• $2k-1$ es un residuo cuadrático
• $k+(p-1)/2$ es una ecuación cuadrática de residuos no
• $-k+(p+1)/2$ es una ecuación cuadrática de residuos no