Me acabo de dar cuenta de la construcción que usted realmente desea. Conceptualmente, es una categorification de la Grothendieck del grupo de construcción, como se podría esperar.
El grupo de Grothendieck de la construcción de una izquierda adjoint $\mathsf{Gr}$ a los desmemoriados functor de abelian grupos conmutativa monoids (también hay un derecho adjuntos, que toma el grupo de la unidad de la monoid). Por supuesto, no hay ninguna necesidad de restringir el acceso a la propiedad conmutativa caso, hay una izquierda adjunto a la inclusión de monoids a los grupos construyen de la misma forma: se acuestan inversos para cada objeto, junto con las ecuaciones diciendo que son inversos.
Una vez que hayas hecho esto, vemos que no hay necesidad de restringir a la de un objeto, el caso es que hay una izquierda adjoint $\mathsf{Gr}$ a los desmemoriados functor de groupoids a las categorías, también. Esto ha sido llamado el fundamental groupoid de la categoría. La construcción es la misma: para cada flecha en la categoría, contiguos a una inverso (con un correcto dominio y codominio) junto con las ecuaciones de decir que es una inversa.
Hay más categorification que podemos hacer: podemos ir más alto. Cuando vamos más tenemos algunas opciones. Para un 2-categoría, se podría pedir que 2-las células tienen inversos, o se puede pedir que 1-las celdas de equivalencias. Si nos preguntamos por tanto, estamos hablando de 2-groupoids. Del mismo modo, para un $n$-categoría, hay $n$ de los niveles de invertibility se puede pedir. Para cualquier $S \subset \{1,\dots,n\}$ no debe ser una izquierda adjoint $\mathsf{Gr}_S$ a la inclusión de ($n$-categorías donde todos los $k$-las células se $k$-equivlances, para $k \in S$) para todos los $n$-categorías.
Una categoría monoidal $M$ puede ser representado por una 2-categoria $\mathbf{B} M$: $\mathbf B M$ tiene un objeto, su 1-las células son los objetos de $M$, y su 2-las células son los morfismos de $M$. Composición de 1-las células en $\mathbf B M$ está dado por tensoring en $M$. La inversa de a $\mathbf{B}$ es el functor $\Omega$, a partir de 2-categorías con un objeto a monoidal categorías, donde $\Omega(C) = C(\cdot, \cdot)$ (donde $\cdot$ es el único objeto de $C$).
La construcción desea es $M \mapsto \Omega\mathsf{Gr}_{\{1\}} \mathbf{B} M$, obligando a la 1-las células de $\mathbf{B}M$ equivalencias. Así, para cada objeto de $x$$M$, se adhieren a un objeto $\hat x$, junto con isomorphisms $\eta: I \cong \hat X \otimes X$ $\epsilon: X \otimes \hat X \cong I$ $M$ (que podría, además, la fuerza de esta equivalencia a ser un adjunto de equivalencia; el resultado debe ser biequivalent si no equivalente, en un sentido más estricto). El $x$ $y$ son isomorfos en $\Omega \mathsf{Gr}_{\{1\}} \mathbf{B} M$ si y sólo si son iguales en $K_0(M)$. Tenga en cuenta que cuando estos objetos / mapas son contiguos, que debe ser unida a la $M$ como una categoría monoidal - así que además de los mapas como $\eta \circ f$ para el adecuado mapas existentes de $f$, también hay mapas como $\eta \otimes f$ para los mapas adecuados $f$ y hay nuevos componentes como $\alpha_{\hat x,y,z}$ para el asociador de la categoría monoidal, y así sucesivamente. Así que un poco de cuidado sería necesario escribir una "forma normal" para morfismos de la nueva categoría en términos de morfismos en la categoría antigua y nueva morfismos.
Pero usted está probablemente interesado en la categorified Grothendieck para la construcción simétrica monoidal categorías. Un monoidal simétrica categoría $S$ puede ser representado por una de 4 categoría $\mathbf{B}^3S$ con un objeto, una 1-célula, y una 2-celda; 3-las células del si $\mathbf{B}^3S$ son los objetos de $S$ y 4-las células son los morfismos de $S$. Por lo que la construcción que realmente desea es $S \mapsto \Omega^3 \mathsf{Gr}_{\{3\}} \mathbf{B}^3 S$. Afortunadamente, esto equivale a la misma cosa (estoy casi seguro). Se adhieren a los objetos de $\hat x$ por cada $x$ a lo largo de con $\eta, \epsilon$ la satisfacción de las ecuaciones para hacerlos equivalencias.
EDITAR Nota de que el monoidal producto $\otimes$ en la de arriba está dada por la suma directa de $\oplus$ en el monoidal categorías que usted está interesado en (y de la unidad de $I$ es 0). Lo siento por el choque en la notación!
Existe una variante de la Grothendieck del grupo, donde tomar el isomorfismo de las clases de objetos del modulo de las relaciones $[A] + [B] = [C]$ para cada secuencia exacta $0 \to A \to C \to B \to 0$. Creo que una categoría universal para este grupo puede ser construido por primera toma de cada secuencia exacta de split, colindando mapas de $C \to A$ $B \to C$ satisfactorio biproduct ecuaciones para cada secuencia exacta y, a continuación, la aplicación de la construcción ya se ha discutido.
