Evaluar

Question

¿Cómo se resuelve una integral con un diferencial en la parte superior? Por ejemplo: dada esta integral para evaluar: $$\;\int \frac{dt}{(\cos(t))^2}\;\;?$ $

¿Qué incluso significa cuando hay un diferencial?

Answer 1

A la dirección de su anotación pregunta, el plazo $\,dt\,$ integral nos dice que la variable respecto a la que estamos integrando. Integrales debe incluir siempre la $d\alpha$ donde $\alpha$ debe ser reemplazado por cualquier variable con respecto a la que estamos integrando.

Escrito $\,dt$ en el numerador es simplemente para ahorrar espacio, y significa nada más y nada menos que lo siguiente:

$$\int \frac {dt}{(\cos t)^2} = \underbrace{\int \frac 1{\cos^2(t)}\,dt}_{\large = \int \frac 1{\left(\cos(t)\right)^2}\,dt}$$

Y la integración de: $$\int \frac 1{\cos^2(t)}\,dt = \int \sec^2(t) \,dt = \tan(t) + C$$

Siempre ayuda a "doble check" de una integral, si usted tiene dudas acerca de la $\int \sec^2(t)\,dt$:

$$y = \tan(t) + C \iff$$ $$\dfrac{dy}{dt}\left(\tan(t) + C\right) = \sec^2(t) + 0 \iff dy = \sec^2(t) \,dt$$

Answer 2

Desde la época de Leibniz, la notación $\int f(t)\,dt$ se ha utilizado para denotar el conjunto de todas las funciones cuya derivada es $f(t)$.

La notación $$\int \frac{dt}{(\cos t)^2}$ $ es una versión de ahorro de espacio de $$\int \frac{1}{(\cos t)^2}\,dt.$ $

Podemos ahorrar aún más espacio escribiendo $$\int \frac{dt}{\cos^2 t}.$ $

Answer 3

Diferencial de notación es que - una notación. Como tal, siempre y cuando usted está siendo inequívoca usted puede hacer casi lo que quieras. Si usted desea conseguir incluso más elegante al respecto, recuerda que en virtud de integración de Riemann $\int f(x) dx$ es un límite de $\Sigma f(x) \delta x$. Así, mientras que el $dx$ ya no representa una cantidad real, la notación se trata de algo que fue, y si se puede reorganizar la expresión original en una manera particular, que no cambia el resultado, entonces usted probablemente puede salirse con la suya haciendo algo similar a la integral.

Por ejemplo, he visto a $\int dx f(x)$ utiliza, en contextos donde es claro que el $f(x)$ es todavía parte de la integral, y de manera similar, en este caso no es un enorme pecado para escribir $\int 1/f(x) dx$$\int dx/f(x)$.

Answer 4

Puesto que el derivado de $\tan(t)$ es $\dfrac{1}{(\cos(t))^2}$, la integral es igual a $\tan(t)+C$.