$W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ y $K$ es un subconjunto compacto de $V$ $W \cap K = \emptyset$.

Question

Supongamos que $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ y $K$ es un subconjunto compacto de $V$ $W \cap K = \emptyset$. Mostrar que existe un % de vector $v \in V$tal que $\langle v,w \rangle = 0$ % todo $w\in W$y $\langle w,x \rangle <0$ % todos $x\in K$.

También hay una sugerencia para este problema: definir $A=\{k-w : k\in K, w\in W \}$ y utilizar el lema de Farkas.

No sé cómo aplicar la sugerencia o cómo influye el hecho de que K es compacto en todo lo relacionado con el lema de Farkas.

Answer 1

Aquí está mi intento, por favor, que alguien compruebe si es correcta o no.

Necesitamos el siguiente lema:

Deje $K \in \mathbb{R}^n$ ser cerrado y convexo conjunto con $ 0 \not\in K$, entonces existe un vector $V \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle v,x \rangle >0$ por cada $x\in K$.

Y la interpretación geométrica de la Farkas Lema, que está aquí : http://en.wikipedia.org/wiki/Farkas%27_lemma

Solución:

Como la sugerencia definimos $A = \{k-w : k \in K,w \in W \}$. Desde $W \cap K = \emptyset$, entonces es claro que $0 \not\in A$, por lo que por el lema existe una $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle v,x \rangle >0$ por cada $x \in A$, lo que implica que existe un $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle v,k-w \rangle >0$ por cada $k \in K$$w \in W$. Así tenemos que : $$\langle v,k-w \rangle >0$$ $$\langle v,k\rangle >\langle v,w \rangle $$ , por lo que y desde $K$ es limitada mientras que $W$ es no acotada, entonces el $RHS$ es limitada, mientras que la $LHS$ puede ir hasta el infinito, por lo que debemos que ese $LHS = 0$,lo $\langle v,w \rangle=0 $ (esta parte tal vez necesitan un poco mas de explicación?).

Ahora desde $W$ es un subespacio e $W \cap K = \emptyset$ no podemos encontrar ninguna $\alpha_1, \cdots, \alpha_m \in \mathbb{R}$ tal que $x = \alpha_1 w_1 + \cdots \alpha_n w_n$ donde $x\in K$ $w_1,\cdots w_n$ son una base de $W$. Entonces por Farkas Lema tenemos que existe un $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle v,x \rangle <0$ por cada $x\in K$ (el segundo escenario va a ocurrir desde el primer cant suceder. Esto concluye la prueba.

¿Esto es correcto, y no hay nada claro, o que las necesidades de una prueba?