Derivado exterior derivado de la covariante derivado vs la mentira vs.

Question

En geometría diferencial, hay varios conceptos de diferenciación, a saber:

• Exterior Derivados, $d$
• Derivada Covariante De Conexión/, $\nabla$
• Mentira Derivados, $\mathcal{L}$.

Tengo una lista en orden de aparición en mi educación/en orden descendente de mi comprensión de ellos. Tenga en cuenta que puede haber otros que todavía tengo que encontrar.

Conceptualmente, no estoy seguro de cómo estas tres nociones de encajar. Mirando sus definiciones, puedo ver que aún hay cierta superposición entre la colección de objetos que cada uno puede actuar. Estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor de por qué hay (al menos) tres diferentes nociones de diferenciación. Supongo que mi confusión pueden resumirse en la siguiente pregunta.

¿Qué hace cada uno hacer que los otros dos no se puede?

No sólo me refiero a objetos que pueden actuar sobre que los otros dos no se puede, me gustaría una explicación más profunda (si es que existe, que yo creo que sí). En términos de su intuición geométrica/interpretación, ¿tiene sentido que necesitamos estas diferentes nociones?

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Nota, he puesto la referencia de la solicitud de la etiqueta en esta pregunta porque me interesaría encontrar algunos recursos que tienen una discusión de estas nociones, simultáneamente, en lugar de ser presentados como conceptos individuales.

Answer 1

Respuesta corta:

• el exterior derivado de los actos de formas diferenciales;
• la Mentira derivados de actos en cualquier tensores y algunos otros objetos geométricos (tienen que ser naturales, por ejemplo, una conexión, ver el artículo de P. Petersen a continuación);
• tanto en el exterior y la Mentira de los derivados no requiere ningún estructura geométrica: se basan en el diferencial de la estructura del colector;
• la derivada covariante de las necesidades de una opción de conexión que a veces (por ejemplo, en presencia de un semi-métrica de Riemann) se puede hacer canónicamente;
• hay relaciones entre estos derivados.

Para una respuesta más larga sugiero la siguiente selección de documentos

1. T. J. Willmore, La definición de la Mentira derivados
2. R. Palacio, Una definición del exterior de la derivada en términos de la Mentira derivados
3. P. Petersen, La Ricci y las Identidades de Bianchi

Por supuesto, hay mucho más que decir.

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Edit.

He decidido ampliar mi respuesta porque creo que hay algunos puntos esenciales que no se han examinado todavía.

1. Una enciclopedia de referencia de que trata todos estos derivados a la vez en un moderno nivel de generalidad es
   I. Kolar, P. W. Michor, J. eslovaca, Natural de Operaciones en la Geometría Diferencial (Springer 1993), libremente disponible en línea aquí.
   Ni siquiera me atrevería a resumir este recurso, ya que tiene un abismal profundidad y de toda la ronda de integridad, y, de hecho, cubre todas las partes de la pregunta original.
   Por otra parte, creo que la bibliografía lista de este libro contiene casi cualquier otra referencia de la misma.
2. Como ya se ha mencionado por muchos en esta discusión, estas operaciones están íntimamente relacionados. No se puede exagerar que la característica más importante que todos ellos comparten es connaturalidad (que conmuta con pullback, y este, en particular, hace de coordenadas).
   Ver KMS antes citada y su bibliografía, y específicamente las siguientes referencias pueden ser útiles:
   R. Palacio, Natural de Operaciones en Formas Diferenciales, por ejemplo, aquí o aquí.
   C. L. Terng, Natural Vector de Paquetes y Natural de los Operadores Diferenciales, por ejemplo, aquí
3. Resulta que su connaturalidad les obliga a ser único si que se imponen en ellos algunas de las propiedades básicas, tales como $d \circ d = 0$, para el exterior de derivados. Una manera de demostrar que y más referencias, puede ser encontrado en:
   D. Krupka, V. Mikolasova, En la singularidad de algunos diferenciales invariantes: $d$, $[,]$, $\nabla $, vea aquí.
   También es interesante que el de Bianchi identidades para la conexión de seguir a partir de la connaturalidad de la propiedad y el $d \circ d = 0$, para el exterior de derivados, ver
   Tel. Delanoe, En las identidades de Bianchi, por ejemplo, aquí.
4. La lista de referencia que me producen aquí está demasiado lejos de ser completa, en ningún sentido. Sólo me gustaría añadir un tratamiento clásico que he utilizado personalmente para comprender algunas de las nociones fundamentales relacionadas con la Mentira de derivados (en particular, la Mentira derivado de una conexión!):
   K. Yano, la Teoría De La Mentira Derivados Y Sus Aplicaciones, disponible gratuitamente aquí

De hecho, mis comentarios son especulativas y dispersas. Deseo si esta pregunta fuera contestada por alguien como P. Michor, para ser honesto :-)

Answer 2

Ya no tengo el tiempo para hacer una super-respuesta detallada, permitir que me acaba de resumir algunas de las cosas que otros han dicho, añadiendo algunos puntos adicionales en el proceso. Esperemos que este sea al menos algo útil.

Diferencias básicas:

• El exterior de derivados y la Mentira derivadas se definen en términos de la estructura de un buen colector. Por el contrario, la elección de una conexión es una estructura adicional.

• Los tres están de acuerdo en las funciones lisas. Sin embargo, generalizan de manera diferente:

  • El exterior derivado de la toma formas diferenciales como entradas.
  • Conexiones de tomar secciones de un vector paquete (como el tensor de campos) como entradas, y la diferenciación que se hace con respecto a un campo de vectores.
  • La Mentira derivado de la toma de tensor de campos como entradas, y la diferenciación que se hace con respecto a un campo de vectores.

Exterior derivado: La característica principal aquí es $d^2 = 0$.

Para mí, el exterior de la derivada es la diferenciación operador necesitamos para Stokes Teorema de tener sentido. El $d^2 = 0$ propiedad es dual a decir que "el límite de una frontera está vacío," y es lo que hace de Rham cohomology de trabajo. A veces pienso acerca de $d^2 = 0$ como describir la conmutatividad de la segunda derivados.

Conexiones: La característica principal aquí es la diferenciación a lo largo de las curvas.

Una opción de conexión nos permite definir la derivada de un campo de vectores (en general, una sección de un vector paquete) con respecto a otro campo vectorial. A partir de ahí, podemos definir la noción de una "derivada covariante" a lo largo de las curvas.

Conexiones de generalizar el caso de $\mathbb{R}^n$, donde

$$\nabla_XY := X^i\frac{\partial Y}{\partial x^i}$$

Las conexiones también nos permiten definir los conceptos de "transporte paralelo" y "de torsión." Cuando una métrica de Riemann es dado, no es una elección canónica de la conexión de Levi-Civita de conexión), lo que da un montón de información geométrica. En particular, muchos de los clásicos de las fórmulas de la geometría diferencial de curvas y superficies pueden ser formuladas en términos de conexiones.

Mentira derivado: La característica principal es la relación con curvas integrales y de flujos, y el hecho de que $\mathscr{L}_XY = XY - YX$.

Como las conexiones, la Mentira derivado también define un derivado de un campo de vectores (en general, el tensor de campos) con respecto a otro campo vectorial. Intuitivamente, la Mentira derivado $\mathscr{L}_XY$ es el cambio instantáneo de $Y$ a lo largo de la curva integral definida por $X$. Esta intuición viene directamente de la definición:

$$\mathscr{L}_XY|_p := \lim_{t \to 0}\frac{D\phi_{-t}(Y_{\phi_t(p)}) - Y_p}{t},$$ donde $\phi$ es el flujo de $X$.

Sin embargo, a diferencia de las conexiones,la Mentira derivados qué no dar una buena definición de derivada direccional de campos vectoriales "a lo largo de las curvas." El siguiente problema de Lee de Riemann Colectores libro ilustra esto:

Problema 4-3: b) existe un campo de vectores en $\mathbb{R}^2$ que se desvanece a lo largo de la $x$-eje, pero cuya Mentira derivado con respecto a $\partial_1$ no se desvanecen en el $x$-eje.

Casi todo esto se puede encontrar en Lee "Suave Colectores" y "de Riemann Colectores de" libros".

Answer 3

Permítanme centrarme en la diferencia entre la Mentira derivados y covariante derivados. Supongamos que tengo un colector con una conexión de $\nabla$ y un punto de $p$ en el colector. Deje $v$ ser un campo de vectores en $M$ y tome $\xi \in T_pM$. El punto a resaltar es que $\xi$ es no un campo de vectores (aunque en la práctica es a menudo un campo de vectores evaluados en $p$). A continuación, podemos obtener $\nabla_{\xi}v \in T_pM$. Por lo tanto, covariante derivados de dejar de tomar derivadas direccionales de campos vectoriales.

Mentira derivados de campos vectoriales no se puede interpretar de esta manera. El símbolo "$\mathcal{L}_{\xi} v$" no está definido debido a $\xi$ no es un campo de vectores. Sin embargo, si tomamos un campo de vectores $X$, podemos pensar de $\mathcal{L}_{X} v$ (que es un nuevo vector de campo) como la derivada de la $v$ mientras caminamos a lo largo de las curvas integrales de $X$.

Para entender la diferencia entre estas dos ideas, la posibilidad de trabajar en las coordenadas. La Mentira derivados tomará la forma $(\mathcal{L}_{X} v)^a=X^b \partial_b v^a-v^b \partial_b X^a$. El segundo término indica que la primera derivada de la $X^\mu$ está involucrado a la hora de diferenciar a lo largo de las líneas de flujo. No hay mejor forma de diferenciar $v$ en la dirección de un vector a menos que el vector es un vector de campo o tiene una estructura adicional que indica cómo conectar cercanos tangente espacios (una conexión). (La única obvio supongo que sería $X^b \partial_b v^a$, lo que da diferentes vectores en diferentes sistemas de coordenadas.)

Answer 4

Una muy breve respuesta:

En dimensiones finitas y al menos en el carácter 0, la ecuación $$\operatorname{d} \omega(x, y) = \omega(x) - \omega(y) - \omega([x, y])$$ allows you to define $[-,-]: V \wedge V \a V$ if you know $\operatorname{d}: V^* \V^* \wedge V^*$ y viceversa.

Además, usted puede probar que las condiciones de $[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0$ $d^2 = 0$ son equivalentes en virtud de esta correspondencia.

Ahora, por desgracia, esto no se aplica a infinito-dimensional caso que es general Mentira derivados y exterior derivado, y no sé qué tan relevante es esto de las generales de la Mentira derivados y exterior de derivados, pero es muy bueno saber de esta relación, al menos en términos puramente algebraica caso.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_coalgebra

Answer 5

1) El vector de derivadas, $\partial$

En geométricas del cálculo, de la que se ocupa, no sólo en campos vectoriales, pero multivector campos--campos asociados orientado planos, volúmenes, o de otros tipos de primitivas para cada punto. Estos multivector campos se diferencian por un operador denotado $\partial$. Puede actuar en multivector campos en cualquiera de las dos maneras. En un multivector campo $A(r)$, puede actuar como $\partial \wedge A$, que es el familiar exterior de derivados. Esto aumenta los grados de todos los componentes del campo por uno, los vectores de convertirse en los planos de, planos de convertirse en volúmenes, y así sucesivamente.

Pero hay otro derivado, denotado $\partial \cdot A$, que va por varios nombres: interior de derivados, codifferential, y así sucesivamente. Estas dos nociones de diferenciación surgir de $\partial$, sin embargo. Es, en mi opinión, la tontería de que formas diferenciales trata el $\partial \cdot$ operación como algo que sólo se puede expresar en términos de $\partial \wedge$, sin embargo. Para mí (y en GC) están en pie de igualdad con los otros.

2) La derivada covariante, $\nabla$

Ahora, introducir un global de rotación de campo llamado $\underline R(a; r)$, que actúa de forma lineal en el vector de $a$ y es una función de la posición $r$. Por razones de brevedad, sólo tendremos que llamar a esta $\underline R(a)$ en la mayoría de los casos. Podemos, a nuestra discreción, utilizar o ajustar este rotación de campo a nuestro gusto, tal vez porque es conveniente, tal vez porque es necesario, se puede considerar como inherente al espacio si te gusta.

Luego podemos ver la transformación de $A \mapsto A' = \underline R(A)$. Naturalmente, esto cambia la forma en que debemos diferenciar. Ver que

$$a \cdot \partial A' = \underline R(a \cdot \partial A) + (a \cdot \dot \partial) \dot{\underline{R}}(A)$$

Esto es sólo una fantasía producto de la regla, con la overdot diciendo que nos diferencian sólo el operador lineal, no a su argumento.

Podemos definir la derivada covariante para deshacerse del desorden segundo término en el lado derecho. Es decir,

$$a \cdot \nabla A' = \underline R(a \cdot \nabla A)$$

La introducción o cambio de la rotación de campo de los cambios de la derivada covariante. Esto le da una manera de hablar de la diferenciación, independientemente de la rotación actual campo de $\underline R$. Cambio de la rotación de campo puede ser beneficioso para alterar la geometría del espacio de una manera que sea conveniente. Por lo tanto, la rotación de campo representa generalizada, que dependen de la posición de rotación de grados de libertad para girar los campos en todos los puntos en el espacio por diferentes cantidades y orientaciones. La derivada covariante que nos permite hacer esto y recuperar los resultados que son independientes de la elección de la rotación de campo-de la elección de la galga.

3) La Mentira derivados

En el GC, la Mentira derivado no tiene ningún símbolo especial. Más bien, puede ser construido a partir de covariante derivados. Considere la posibilidad de dos campos vectoriales $A, B$. La Mentira derivada es simplemente

$$\mathcal L_A B = A \cdot \nabla B - B \cdot \nabla A$$

No estoy tan familiarizado con la Mentira de los derivados, sino que me dan a entender que si $B$ fueron transportados a lo largo de un "flujo" generado por $A$, esta cantidad podría medir la cantidad de $B$ mantiene su valor durante el proceso.